SÉANCE DU l8 FÉVRIER 1918. 277 



Soil U(x,y, z, p,,o, p,un •••,yOi,»-.,yOo,«) une fonction de .r, y, r. et de 

 ses dérivées />, /^ où l'on n'a laissé subsister que celles dont l'indice i est o 

 ou I, en vertu de la remarque précédente. 



Si l'on prend la dérivée complète de cette foaction par rapport à .r et 

 que dans le résultai on remplace Pa.n/'j.a, ■•■■, P-.,,,-^ P'"' '•'"•'s valeurs 

 tirées de l'équation (i), on obtient une e\ 



par -j- ■ On définit de même le symbole 



Cela posé, on sait (') que la condition nécessaire et suffisante, pour que 

 U soit un invariant du système de caractéristiques correspondant par exemple 

 à la racine m.,, est que l'égalité 



3ression que nous désignerons 



du 



dy 



(2) 



du 

 7h- 



-+- ni.. 



du 

 dy 



soit vérifiée identiquement. Si cette relation n'est pas vérifiée identique- 

 ment, mais qu'elle soit une conséquence de 



(3) 



U(,r, r, r. /), „. /)„.,, 



/'i,H-i, iO.),„) = o, 



l'équation (3) sera en involution avec l'équation donnée. 



J'ai démontré, dans un Mémoire antérieur (-),que tout invariant d'ordre 

 supérieur à (3) peut s'écrire sous la forme 



('.) 



/> I . « -i-t- Wi/'n:„4- ^(^•. .r, ;. ■ ■ ■ . /->i.,,-j, /'n.»-. ). 



W(.r, 7, --:, 



P\,/l 1^ Po,ll-t ) 



On sait d'ailleurs que, quel que soit X-, l'équation précédente est en invo- 

 lution avec (i); en particulier les équations obtenues en égalant à zéro le 

 numérateur et le dénominateur de l'expression précédente sont en involu- 

 tion avec l'équation donnée. 



2. Supposons donc que u soit un invariant, d'ordre n quelconque, du 

 système de caractéristiques «lo. Si l'on se déplace sur une surface intégrale 

 quelconque de l'équation (i), u est une fonction de (a?, j) qui vérifie iden- 



~ dii~' 

 dv 



tiquement la relation (2 ). Posons V = -r- ; sur toute surface intégrale, 



(' est aussi une fonction de (.r, y) qui vérifie l'égalité suivante, obtenue en 



(') GoURSAT, Leçons sur l'intcL; ration des équaiions aux dérivées partielles du 

 second ordre, l. 2, Cl];i|). \ I. 



(-) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 6*^ série, t. T, 1911, p. iSy. 



C. R., lyiS, I" Semestre. (T. 166, N» 7.) 



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