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dérivant l'identité ( 2) par rapport à y, 



'm-'Yw\ 



Cette égalité doit être vérifiée pour toute surface intégrale de l'équa- 

 tion (i); or elle ne contient que les quantités : «", r, '■, P- ff-, ''1 ^t P^.^iP^^i 

 entre lesquelles l'équation (i) ne permet d'établir aucune relation, (l'est 

 donc une identité par rapport à ces quantités. 



On en'déduit que l'équation 



[Ê] -^ '-^ [^] 



est une conséquenée de (' = 0, et par suite que cette dernière équation est 

 en involution avec (i). D'où : Si 11 est un invariant d'ordre n pour Vun des 



systèmes de caractéristiques de r équation (i), C équation ;t- = o forme avec 



r équation donnée du second ordre un système en involution d'ordre /; +1, 

 et appartenant au même système de caractéristiques . 



3. Le résultat annoncé au début de cette Note est alors une conséquence 

 immédiate d'une proposition que j'ai établie dans le Mémoire déjà cité : 

 « Connaissant trois équations, d'ordre supérieur à 3, en involution avec 

 l'équation (i) et appartenant à la même famille de caractéristiques, on peut 

 en déduire un invariant de cette famille par des opérations algébriques. » 



Donc si l'on connaît un invariant m, qui est de la forme (4), et si le déno- 

 minateur est d'ordre supérieur à 3, les trois équations 



A'i,«-i-+-/»,/j„,„+ 9 = 0, W = o, — =0 



sont en involution avec l'équation (1). On en déduira donc un deuxième 

 invariant qui sera d'ordre {n + i); de celui-ci on pourra par la même 

 méthode en déduire un troisième, d'ordre n -h 2, et ainsi de suite. 



4. Si le dénominateur est d'ordre ;^3, on peut encore dans la plupart des 

 cas former un deuxième invariant, mais on ne peut énoncer ce résultat 

 d'une façon générale comme plus haut. L'étude de ces cas donne lieu à des 

 calculs assez compliqués; ils ne peuvent d'ailleurs se présenter que si 

 l'équation donnée a une forme spéciale pour chacun d'eux. 



En particulier le dénominateur d'un invariant ne peut être du second 

 ordre que si l'équation donnée (i) est linéaire en r, s, l. 



