SÉANCE DU l8 FÉVRIER I918. 279 



ALGÈBRE. — Extension du théorème de Rolle au cas de plusieurs variables. 

 Note de M. Mladen T. Beritch, présentée par M. Appell. 



Le théorème de HoUe peut être étendu au cas d'un système d'équations 

 à n inconnues de la manière indiquée dans la présente Note. 

 Commençons par le cas de deux équations 



/(,r, r)-o, o(j:.,)-) = o 



à deux inconnues réelles x et y. Le théorème devient : 



Supposons les fonctions f(x, y) et o(x, y) continues à l'intérieur d'un con- 

 tour C et admettant des dérii'ées partielles du premier ordre par rapport à x 

 et Y continues pour tous les points à l'intérieur du contour C. Alors : 



i" .SV /'[x, y) et 9(a-, y ) s'annulent aux deux points A(.r = c/. j = a), 



et B(.7- = A, j = ji), le déterminant fonctionnel ^ ^ s'annulera le long 



(i un nombre impair de lignes L ijui séparent les points A. eZ B, en ce sens 

 ([u'on ne peut pas passer du point A au point B sans traverser un nombre 



impair de lionnes L, satisfaisant à l'équation ,-. , ' ' = o. 



2" Dans une région R à l'intérieur de C, limitée par les lignes L, ou les 

 lignes \u et C il y aura au plus un point dont les coordonnées satisfont aux 

 équations f(x, y) = 0,0 {x, y) = o. 



Pour le démontrer, considérons la ligne -^ d'intersections des deux sur- 

 faces 



F(.r, j. z) = lz-i-f{a;y) = o, (t>(.r, r, z) = [xz + z,{x. y) —o 



(où A et u. sont deux paramètres). 

 L'équation de la tangente à -"> sera 



X — j Y— / L~z 



-(\d^.-^.f-.) - - (p./;,- /.o;) ^ D(/, y) 



( \, ^ . /, sont les coordonnées d'un point de la tani^enle). 



La ligne -^ traversera le plan s = o aux points A et B. Un point mobile M, 

 partant du point A et parcourant la ligne ->, continue et sans variations 

 brusques en vertu des hypothèses faites sur /et ç>, commencera par s'éloi- 



