28o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



gner du plan - = o. Four arriver au point B, qui est dans le plan j = o, il 

 doit, en un point G, cesser de s'en éloigner et commencer de s'en rappro- 

 cher. Donc il y aura au moins un point G où la tangente sera parallèle au 

 plan œ = o. Toutes les valeurs de Z, le long de la tangente en G, étant 

 égales à r^ correspondant au point G, on aura Z — s = o, ce qui n'est 



possible que si le dénominateur ^, = o. 



' ^ D{.T.y) 



Soit D la projection du point G sur le plan s — o. Les coordonnées du 

 point D satisfont aussi à l'équation 



D(/ y) __ 



^(■t',y) 



= o. 



En variant les paramètres X et [/. la ligne "* variera en passant toujours 

 par les points A et B, les points G et D varieront et le point D décrira une 



ligne dont les coordonnées satisfont à l'équation p^ •^' ' — o, celle de la 



ligne L. 



Le point G peut être un point unique, mais il peut aussi y en avoir plu- 

 sieurs, auquel cas leur nombre est toujours impair, parce que, en un premier 

 point G, le point mobile cesse de s'éloigner et commence à s'approcher du 

 plan ^ = o, en un deuxième point G il cesse de s'approcher et recommence 

 à s'éloigner; pour qu'il puisse passer par le point B il doit de nouveau 

 cesser de s'éloigner et commencer de s'approcher du plan ; =; o. Le nombre 

 de ces points est ainsi toujours impair. 



La deuxième partie se démontre de la même manière que dans le cas 

 d'une seule variable. 



Gonsidérons maintenant le cas général. Le théorème deviendra : 



Soient ri fonctions 



. /,{j:\, ,r.,, . . . , x„) = o ( / = I , 2, . . . , /«) 



de n variables .ï\. x.,^ ...,x„, continues à linlérieur (V une multiplicité G 

 (le degré n — i et admettant des dérivées partielles du premier ordre par rap- 

 port à a;,, ,z\,, . . ., x„ continues pour tous les points à r intérieur de G. Alors : 



i" Si toutes les fonctions f^, f.^, . ..^J^ s annulent aux deux points h.[xi=ai) 



et B(av = i,) (t = I, 2, . . ., «) le déterminant fonctionnel ^^ " • " 



s'annulera le long d'un nombre impair de multiplicités de degré n — i qui 

 séparent les deux points A et B, en ce sens qu'on ne peut pas passer du 



