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A.VALYs;^ MATHÉMATIQUE. — Généralisation d'un ihéorème de Cauchy 

 relatif aux développements en séries. Note de M. B. Jekbowskt, 

 présentée par M. Appell. 



Considérons la fonction S de c, finie et bien déterminée, ayant pour 

 période ■>.t:. Soit r une nouvelle variable reliée avec t' par la relation 



(l) r — r — V c„ MIWM\ 



/l = l 



de sorte ijue S est aussi fonction périodique de r, admettant la même 

 période -ir. que 4'. 



Dans ce cas a lieu le développement convergent suivant 



f, ^-h 00 fi ^Z ~ X 



(2) Sr^— A„-h 2, A/, cos /i ./■ H- 7 lî/.. sin A-.r. 



/ = 1 /. 1 



OÙ les coefficients A/, et B/, sont exprimés à l'aide des fonctions de Bessel à 

 plusieurs variables. 



En posant dans cette expression e-^' = :, e étant la base des logarithmes 

 népérieiLs et i ■=^ y — x , on trouve 



avec 



relations qui déterminent les coefficients A/, et B^ lorsque l'on connaît les 

 coefficients de la série (3). 



En multipliant les deux membres de (3} par z' >' dx, puis, intégrant entre 

 les limites o et 27:, on remarque que, pour toutes les valeurs de /j ^ X, ces 

 intégrales s'annulent et il vient 



(.■i) \ Sz-''dx — ?.-\'i,. 



