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Les rayons sont les caractéristiques de cette équation aux dérivées par- 

 tielles ('). . 



Enfin les rayons correspondent au temps minimum de propagation, si 

 chaque surface d'onde est concave vers son origine (^principe de Fermât). 



2. J'observe maintenant qu'on retrouve les équations (2) quand on 

 annule la variation de l'intégrale 



(5) 



i= / L?(-^ii -^2, •2^3, -ni dXi, d.r^, dx,,, dx,,)]' 



prise entre deux points fixes de Vespace à quatre dimensions (x,,X2,^3, x^). 

 Mais les rayons sont seulement, dans ce cas, des solutions singulières (cp = o). 

 Les solutions générales sont des rayons pour la propagation par ondes, 

 dans le milieu à quatre dimensions défini par les surfaces d'onde, indépen- 

 dantes de x^, représentées par l'équation non homogène 



(6) cp(jr,, x^, x„ x,.\ \,, \,, Xj, X.) = i. 



3. L'application à la théorie de la relativité est, dès lors, immédiate. 

 Einstein définit le champ de la gravitation par une forme différentielle qua- 

 dratique 



(7) ?=2 '^ghk(,x^,x,, x^, x,)dxhdxk, 



h = i k=l 



élément métrique de l'espace à quatre dimensions de Minkowski. Les géo- 

 désiques figurent le mouvement des points matériels; les géodésiques singu- 

 lières (<p = o) correspondent aux rayons lumineux. La forme ç est, du restcj 

 réductible à trois carrés négatifs et un positif. 



Nous concluons donc que, dans celte physique nouvelle, la propagation 

 de la lumière se fait par ondes (surfaces d'onde ellipsoïdales), suivant le 

 principe d^Huygens ; que les rayons satisfont aussi au principe de Fermât; et 

 que l'équation aux dérivées partielles (4) des familles d'ondes s'obtient en 

 égalant à zéro \g paramètre différentiel ^ ^ f àe. Beltrami. 



De plus, si Ton se donne les surfaces d'onde, on achèvera de définir le 



champ de la gravitation par la seule donnée de sj— g, g étant le discrimi- 

 nant de (p. C'est ce qu'on pourrait appeler la densité de la gravitation, l'élé- 



(') Cf. Hàdàmàrd, Leçons sur la propagation des ondes, igoS, p. 292. 



