SÉANCE DU 4 MARS I918. 869 



GÉOMÉTRIE. — Sur une classe particulière de courbes plusieurs fois isotropes. 



Note de M. C. Guichard. 



Soit, dans un espace d'ordre 7i,une courbe C;ir,,j;'o, ...,x^ les paramètres 

 directeurs de la tangente à cette courbe. Ces paramètres sont des fonctions 

 linéairement indépendantes d'une variable u. On sait qu'on peut déter- 

 miner, à un facteur près, n fonctions de u, :,, r,,, ..., ^„ par les équations 



i i 



Toute courbe F dont les tangentes ont pour paramètres directeurs 

 ^,, z.,, ..., :;„ sera dite orthogonale à la courbe C. On sait d'ailleurs qu'il y a 

 réciprocité entre les fonctions x Gi z et que les équations différentielles 

 linéaires qui admettent pour solutions, d'une part les fonctions x, d'autre 

 part les fonctions s, sont adjointes. 



Je rappelle maintenant la définition des courbes plusieurs fois iso- 

 tropes ( ' ). La courbe C est p fois isotropes, si les paramètres directeurs de 

 ses tangentes satisfont aux équations 



Une telle courbe ne peut exister que dans le cas où n surpasse ip. Une 

 telle courbe sera dite une courbe \p. 



Il y a lieu d'introduire de nouvelles courbes singulières. La courbe C 

 sera dite 2I'', s'il existe une fonction a-„^., telle que la courbe de l'espace 

 à rt 4- I dimensions, qui a pour paramètres de ses tangentes j;-,, ^■■,x,^,x„+^, 

 soit une courbe R. Autrement dit, une courbe est 2!^ si elle est la projec- 

 tion d'une courbe I'' située dans un espace d'ordre n-f-i. On définit de 

 même les courbes 31'', 4I'') — 



Ainsi dans un espace d'ordre 4, il y a deux sortes de courbes singulières, 

 les courbes I et les courbes 2I-. Dans un espace d'ordre 5, il y a quatre 

 classes de courbes singulières qui sontnotées L 2I-, 3P et P. Une courbe 1 

 est ortliogonale à une courbe 3P; une courbe 2P à une autre courbe 2P. 

 enfin une courbe P est orthogonale à elle-même. Sans entrer, ici, dans la 



C) Voir mon Mémoire, Bnllclin des Sciences inalhémali'jues, igia. 



