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même de la courbe F, dont les paramètres directeurs sont vo->,.v,, la coor- 

 donnée complémentaire étant 6. 



Cela posé, soient yj,, •/).,, ..., y].,^, les paramètres de la courbe orthogonale 

 à r ; cette courbe sera une courbe ï''~' et Ton aura 



(,3) 



^f: 



:0, 



-/■ 



V 



d'-n, 

 du'' 



(/.=!, 2, 



Les paramètres de la courbe orthogonale à F, seront évidemment -^ y- • 

 cette courbe orthogonale étant I/*"', on aura 



2P 



-/' 



(«4; 



■'d'^ru 





(/. = I, 



Les équations (i3) et (i4) forment un système analogue au système (7), 

 seulement j9 a été diminué d'une unité. On peut donc ramener le problème 

 au cas où ^ = i. Dans ce cas on a 



(i5) a?7 -4- .r^ -h a;, -I- .?•: =: o, «j x-y -h ««a'i; + «3X?; -1- «j^-j = o ; 



la solution est évidente, on peut prendre pour a-, et œ^ deux fonctions arbi- 

 traires de u et l'on détermine x^ et x^ pour les équations (i 5 ). 



On peut donc arriver de proche en proche à la solution du système (7). 

 Voici le résultat auquel je suis arrivé par un choix convenable de la 

 variable indépendante et du facteur de proportionnalité. 



Je pose 



(.6) 



on a alors 



('7) 



F(/) = (i -«,)(<-«,)... («-«„). 



Xi=l 



{"-+- -7,) 



V'F'l'-',) 



Remarque. — La solution ainsi obtenue est, au point de vue de la théorie 

 des équations différentielles, une solution singulière. On pourrait, en se 

 plaçant au point de vue de Cauchy, se donner arbitrairement a;, et a;,; le 

 système (7) forme alors un système de ip équations différentielles pour 

 déterminer les autres inconnues. Si l'on prend l'intégrale générale de ce 

 système, on trouve qu'en /j -\- i des fonctions Xi existe une relation linéaire. 

 Ici, comme dans beaucoup de cas, c'est la solution singulière du système 

 qui seule est intéressante au point de vue géométrique. 



