38o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



^jmc yve Lgoj, AiToxxE fait hommage à l'Académie d'une série de 

 tirages à part des notes et mémoires publiés par son mari. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Vitéralion (les fonctions rationnelles. 

 Note de M. J.-F. Ritt. 



M. P. Fatou a publié récemment plusieurs théorèmes sur l'itération qui 

 sont dans une relation intime avec quelques résultats que j'ai obtenus moi- 

 même, et dont j'ai présenté une partie à l'American Mathematical Society 

 à la séance du 27 décembre 1917. (Les comptes rendus pai'aîtront dans le 

 Hall, of the American Malh. Soc. pour mars 191 H.) 



Je veux donqer ici quelques théorèmes qui ne semblent pas être iden- 

 tiques à ceux de M. Fatou et quelques autres qui me paraissent être entiè- 

 rement nouveaux. 



Soient /"(a;) une fonction rationnelle, fn{x) son itérée «''"■"*. Soit /(a) = a. 

 Selon qu'on aura |/'(a)|<i, |/'(a)|>i, ou |/'(a)| = i, j'appellerais 

 point d'attraction, point de répulsion ou point de circulation. Aussi, à 

 côté des antécédents et des conséquents d'un point quelconque c, j'intro- 

 duirai les points associés à c, c'est-à-dire les points x tels quey„(a;) =: f„(^c ) 

 pour toute valeur de n. 



Soit a un point de répulsion, et soit f\a) = m. D'après Poincaré, il 

 existe une fonction méromorphe (p(a;) telle quecp(/na;) =/[©(a;)]. L'étude 

 des itérées de f{x) revient donc à l'élude de 'f (a?). Or j'ai trouvé les pro- 

 priétés suivantes de ces transcendantes : 



1° Si /(x) ne peut être transformé ni en r-'", ni en un polynôme, 

 o(x) prend chaque valeur une infinité de fois. 



2° Si /(x) est un polynôme de degré n, o(.r), qui sera une fonction 

 entière, sera de l'ordre apparent log|,„|W. 



3" Les seules fonctions entières cp(a') qui soient périodiques sont les 

 fonctions he'-^ -h k, h cossx -+- k. 



Au moyen de ces transcendantes on peut démontrer que dans tout domaine 

 autour d'un point de répulsion se trouve un antécédent d'un point 

 quelconque, à l'exception de quelques cas déjà indiqués. Aussi y a-t-il dans 

 tout voisinage d'un point de répulsion une infinité de points doubles des 

 itérées de /(a;), en général des points de répulsion. 



