SÉANCE DU 4 MARS I918. 38l 



Prenons les antécédents d'un point c, qui, avec deux exceptions, sont en 

 nombre infini. On démontre, au moyen des nombres ordinaux transfinis, 

 que l'ensemble des points limites des antécédents contient un ensemble 

 parfait dans lequel les antécédents des points de répulsion sont compris. 

 M. Fatou a énoncé ce résultat pour le cas où il existe un point d'attraction, 

 fini ou infini. 



Considérons maintenant les points associés à c qui son t aussi généralement 

 en nombre infini. L'ensemble dérivé contient aussi un ensemble parfait. Les 

 associés ne peuvent pas s'accumuler autour d'un point d'attraction. Si c est 

 près d'un point d'attraction à dérivée non nulle, les points associés forment 

 un ensemble isolé. Au contraire, dans le voisinage d'un point d'attraction à 

 dérivée nulle, les points a.ssociés sont partout denses sur une courbe fermée 

 simple, analytique. 



Soit maintenant /(iT) un polynôme de degré n. En se servant d'un 

 tbéorème de L. Bœttcher, on trouve une fonction ç (r) avec un pôle simple 

 à l'infini, qui satisfait à l'équation o (j"" )--=/[ o (./) J. On démontre 

 que o('a?) a une singularité pour 1.-^1 _i, si elle n'est pas d'une des formes 



hx -^/i\ hx+ - + /{. En négligeant ces exceptions, on distingue deux cas : 



1° Les conséquents de toutes les racines de f (x) =■ restent bornés. 



Alors 9l.c| est uniforme et admet le cercle |a;j — i comme coupure. 

 L'inverse de cp(.r) est aussi uniforme. Les points attirés à l'infini forment 

 un domaine à connexion simple (après avoir projeté le plan sur une sphère). 

 Si le coefficient de jc" en/(x) est l'unité, ce qu'on peut toujours arranger, 

 ce domaine recouvre une partie de l'intérieur du cercle |^ï"| = i- 



1" Les conséquents d'une au moins des racines dej'(x') = o tendent l'ers 

 r infini. 



Alors '^(x) est multiforme et le domaine mentionné est multiplement 

 connexe, en général infiniment connexe. 



La plupart des résultats précédents s'étendent aux fonctions rationnelles 

 avec un point d'attraction à dérivée nulle, ou, ce qui revient au même, avec 

 un pùle à l'infini d'ordre 2 ou plus. 



c. R., 191S, 1" Semestre. (T. 16C, N- 9 ) ^9 



