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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Di' mon S ira lion (le V existence ^ pour les fondions 

 entières, de chemins de détermination infinie. Xote de M. Valirox. 



Dans sa thèse (Helsingfors, 1914), M. Iversen a démonlré, comme 

 corollaire d'un théorème plus général, la proposition suivante : 



T. Pour toute fonction entière il existe des chemins de détermination 

 infinie, c'est-à-dire sur lesquels le module de la fonction a pour limite 

 l'iniîni. 



Dans ma thèse (' ) j'avais supposé que cette propriété est presque évi- 

 dente. Je me propose de montrer ici qu'elle découle presque immédiate- 

 ment du théorème d'après lequel le module d'une fonction analytique 

 régulière dans un domaine fermé atteint son maximum sur le contour. On 

 déduit, en effet, de cette proposition, le corollaire suivant qui n'est qu'un 

 cas particulier d'une extension plus générale de MM. Phragmèn et 

 Lindclof : 



II. Si une fonction /(;j est analyti(jue et régulière dans un domaine 

 d'un seul tenant D, extérieur à un cercle y, et sur le contour C de ce 

 domaine, sauf peut-être au point O du contour; si le module de cette 

 fonction est inférieur à un nombre donné M à l'intérieur de D et inférieur 

 ou égal à un nombre A sur le contour, O excepté, on a en tout point inté- 

 rieur au contour |y(^)|<A. 



On peut, en effet, supposer le point O à l'infini et le rayon de y égal 

 à un. Quel que soit t on peut trouver un nombre R, tel que l'on ait 

 (R;)~"M<^A, donc, dans la portion de D intérieure au cercle |;|=^R-, 

 la fonction z'\/\z) est régulière et son module est inférieur ou égal à A 

 sur le contour, et par suite, pour une valeur g„, donnée, on aura 



|/(;;„)1<A|5„|= 



puisqu'il est loisible de supposer Rj>|r.„|. Comme z est arbitrairement 

 petit, la proposition II est démontrée ('- ). 



(') Sur les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini {Annales de la Faculté 

 de Toulouse, 191 3, p. 117; voir p. 252). 



C) Cette démonstiation est celle de MM. Lindeliif et Phragmèn, je ne la reproduis 

 que pour mettre en évidence la simplicité de la démonstration du théorème 1. 



