SÉANCE DU 4 MARS 1918. 383 



("eci posé, soit /'(:;) une fonction entière, soit B le maximum de /( - > 

 dans le cercle |s| = i. D'après le tiiéorème deLiouville, il existe un point 1* 

 en lequel on a | /( s )| > B. L'ensemble des points pour lesquels |/( s )| > B 

 comprend donc un domaine ouvert d'un seul tenant renfermant le point!' à 

 son intérieur, soit D ce domaine. Sur la frontière C de D on a |./(- )| = B. 



Dans le domaine D on peut trouver un point P, en lequel \/{:-)\^li -h ï. 

 En effet, dans le cas contraire, |/(:; )| serait inférieur ou égal à B + i dans 

 tout le domaine D et égal à B sur son contour C; donc, d'après la proposi- 

 tion II, le module de /( :■ (serait inférieur ou égal à B dans tout le domaine D, 

 ce qui est en contradiction avec la définition de ce domaine. Le point P, 

 existe donc et est par suite intérieur à un domaine D,, intérieur à D, dans 

 lequel |/( = )| est supérieur à B + i, tandis que, sur le contour C, de D,, 

 on a j /'(^^:;)|.= B 4- I. On peut continuer ces opérations de proche en proche, 

 on obtient ainsi une suite de points P, P,, ..., P„, ... situés dans des 

 domaines D, D,, ..., D„, ..., 1/(=)| étant supérieur à B -f- « dans le 

 domaine D„, et D„ étant intérieur à D„_,. Si l'on joint PP, par une courbe 

 intérieure à D, et d'une façon générale P„P„4-i par une courbe intérieure 

 à D„, on obtiendra une ligne sur laquelle le module de /( : ) tend vers 

 l'infini; la proposition I est donc établie. 



On voit même qu'on peut former des lignes sur lesquelles le module 

 de/( = ) ne décroît pas et dépasse tout nombre donné lorsqu'on s'éloigne 

 indéfinimenl. 



Comme toute fonction entière y'( z ) peut s'écrire sous la forme 



/( = ) = P„(--)^---'o(=), 



P„( z) étant un polynôme de degré /i et o(z) une fonction entière, on voit 

 «jue la proposition I entraîne la suivante, qui complète la généralisation 

 connue du théorème de Liouville : 



III. Quel que soit l'entier positif «, il existe des chemins sur lesquels le 



quotient '• [~^ ' a pour limite l'infini. 



Plus généralement, on a la proposition suivante : 



iV. Si « est valeur d'exception au sens de M. Picard, c'est-à-dire si la 

 fonction /Y;) — a n'a qu'un nombre fini de zéros, il existe des chemins 

 s'éloignant indéfiniment sur lesquels ;"|./( :■ ) — "] tend vers zéro. 



Car P(=j étant le polynôme ayant pour zéros ceux de /'(:■) — a, 



-, , — est une fonction entière. 



