4lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un point de la théorie des noyawr 

 symétrisables . Note de M. Tr. Lalesco. 



Existe-t-il des noyaux, symétrisables par un noyau fermé, qui aient des 

 pcMes multiples ? 



Cette question se pose lorsqu'on cherche à étendre la définition des 

 noyaux symétrisables et que l'on examine en quoi la propriété du facteur 

 composant d'être positif est essentielle. 



Il est facile de montrer, par un exemple ti-ès simple, l'existence de pareils 

 noyaux. 



Considérons pour cela la fonction 



aix) /G(j, s)b{s)ds^ b{x) JGiy. s)a{s)ds 

 N(a;, r) = =^ 



a{.T) fG(y,s)a{s)d 



OÙ G{(v, y) désigne un noyau symétrique fermé. 



Pour que ce noyau admette les paires de fonctions fondamentales 



rt(.r), _ />(.,-). 



J'G{y,s)bis)ds. JG{ y, .s)a{ s ) ds, 



il faut et il suffit que les conditions suivantes soient remplies : 



|G(.v, t)a{s)a{t)dsdl= Ig^s. I) h(s) b{l.) d.s dt ^ o, 

 (i) fais, t)a{s)b{i)dsd/ = \. 



Le noyau G(./-,/) étant symétrique, ces conditions peuvent s'écrire 



(«) 



a, />! «2^0 «3^3 



/,, ^ A, 1, 



