SÉANCE DU II MARS 1918. 4ll 



en désignant par A„, o,i(cc) et a„ respectivement la n'*'°"= valeur caractéris- 

 tique de G{x, y), sa fonction fondamentale relative et la constante de 

 Fourier de a(x) par rapport à 9„(a;). 



Si nous considérons ces relations comme des équations linéaires en ^> ^ 



etr-> on peut déterminer pour ces quantités trois valeurs, finies, qui véri- 

 ns 

 fient les conditions (2). Il suffit pour cela qu'on ait 



I a(a;) (Si{.v) cl.f j a{jf) a.,(j:) du- j a (jc) 02(0:) da: 



(3) -^ ' -7-— —-7 ' ^^- 



j h(x) o,{ji') dx I b{j.') 9o{j.') d.c I l)(j:) o^(x)dsc 



Or il est évident que nous pouvons choisir, d'une infinité de manières, 

 les fonctions a\x) et b(x), de façon que les conditions (3) soient satisfaites. 

 On obtient alors les valeurs de la forme 



Pour que ces valeurs ne soient pas toutes nulles à la fois, il suffit d'adjoindre 

 aux inégalités (3 ) le terme 



/ a {.r) Wi{a;) dx 



fb{x)o,{x 



I dx 



Donc, par un changement convenable de trois pôles distincts, on peut, et 

 cela d'une infinité de manières, transformer un noyau Gj(^x,y) dans un 

 autre, également fermé, et tel que les conditions (i ) soient remplies. 



Le noyau ]M(a;, y), symétrisable à gauche par G(x,y)^ admet alors le 

 pnle double ix. 



Cet exemple nous montre que, même si le noyau G(a-,y) est seulement 

 quasi défini, un noyau symétrisable à l'aide d'un pareil noyau peut avoir 

 des pôles multiples. 



