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a. Si a <] I, la série (i*''') est convergente, les deux valeurs de T coïn- 

 cident; 



h. Si a = I, la série (i*") est divergente, T =cc, les deux valeurs de T 

 coïncident; 



c. Si a ^ I, la série (i*") est divergente, les deux points mobiles ne se 

 rencontreront pas ; C instant T^ est antérieur à l'instant T, ; T est négatif. Si 

 dans ce cas-là on changeait le sens des deux mouvements on en obtiendrait 



une nouvellesérieV—jqui est convergente, dont la somme est — — — — T; 



donc T est négatif. La formule (2*") donne aussi pour T une valeur néga- 

 tive. Les deux valeurs de T coïncident. 



Donc la valeur de T calculée par la formule (2*") dans les trois cas 

 représente, d'après la définition de T, la valeur de T qui correspond à la 

 série (1'"). Celte valeur de T a été dans les cas a et è la somme de la 

 série (i*"). En vertu du principe de permanence, la valeur de T calculée par 

 la formule (2'") représente la somme de la série (i'")- 



Deuxième exemple. — Soil/(^) = a.t + ^t'^ où a >> o, [i> o. Soit /„ l'in- 

 tervalle de temps nécessaire au point M pour arriver en H en partant de A, 

 la série (i) sera 



La formule (2) sera 



I -+- 



P- 



\ 



(2" 



a. a 



T=ri -t-5!T+ 3T^ 

 I <[ o et fi — {- — -) <[ o. — Dans l'intervalle de len){)s 



T,.T,+ -^ 



il y aura un instant où «„ sera nul ; /„ sera T ■< — |— • I^es deux valeurs de T 



coïncident. La construction graphique des deux chemins en fonction du 

 temps montre que Tindice n de /„ et a„ tend vers oc quand a„ tend vciszéro. 



-i<oel^ — (- 



= 0. — a„ sera o si /„ 



T- 



• l.,es deux 



valeurs de T coïncident. 



