SÉANCE DU l8 MARS 1918. 453 



c. a — I <^ o et p — ( j ]> o. — a„ ne devient jamais o, mais il décroît 



quand /„ croît de zéro jusqu'à /„= — ^; à cet instant i„, il y aura un terme 



minimum ; aprt:s cet instant t„, o„ recommence à croître et croît jusqu'à co. 

 La série (i'"^) est la série asymptotique. 



Les deux courbes qui représentent les mouvcmeiils de deux points se 

 rapprociicnt jusqu'à un certain poini, puis s'éloignent. Dans ce cas-là, les 

 deux courbes se coupent en deux points imaginaii'es conjugués qui sont 

 hors du plan (réel) des deux courbes (l'un au-dessus, l'autre au-dessous), 

 (les deux points imaginaires conjugués et leur partie réelle se rapprochent 

 du point, où la distance des deux courbes est minimum, quand cette dis- 

 tance diminue; ils se confondent avec ce point quand les deux courbes se 

 touchent. Donc /„ = T est imaj;inairo. En faisant la sommation de la 

 série ( i"''^) jusqu'au terme minimum, le résultat se rappiocheia de la viaie 

 valeur de la partie réelle de /„ = T, quand cette distance diminue; il 

 devient égal à la vraie valeur, quand cette distance devient zéro (le cas h). 



d. Si a ~ 1 >o le terme a,, ne deviendra ni zéro ni minimum pour une 

 valeur de /„^o. L'instant T,, n'est plus postérieur, mais antérieur à 

 l'instant T, ; /„ = T est négatif. 



Dans tous ces cas les deux formules (1''''^) et (2"''') coïncident. 



Donc la valeur de T calculée par la formule (2'^'") dans tous les cas repré- 

 sente, d'après la définition de T, la valeur T qui correspond à la série (i''"'^). 

 Cette valeur de T a été dans les cas a et è la somme de la série (i'*'"). En 

 verlu (lu principe de permanence la valeur de T calculée par la formule {2"''') 

 représente la somme de la série (i '''''). 



La formule (2''''^) donne deux valeurs de T; les deux courbes ont deux 

 points d'intersections, il y a deux instants T„ et deux valeurs de T. La série 

 (!'*'')« donc deux sommes. 



On peut construire une série qui aura trois sommes; ou une série qui 

 aura un nombre quelconque de sommes, ce nombre peut être fini ou infini. 

 On pourra enfin construire une série qui n'a pas de somme, en choisissant 

 /(<) de telle manière que la fonction 1 -h f{t ) — t n'ait pas de zéros. 

 Excepté ce dernier cas, une série à terrurs réels et positifs a toujours une ou 

 plusieurs sommes dont une peut être infinie. Une série, dite divergente, à 

 termes réels et positifs a une somme réelle négative, ou imaginaire ou 

 enfin infinie; dans ce dernier cas, la série est le développement d'une fonc- 

 tion au voisinage d'un pôle ou de certaines autres singularités. 



