SÉANCE DU 23 MARS 1918. 487 



2. Je saisis cette occasion de développer un poinlque je n'ai indiqué (pie 

 d'une façon incomplète dans ma première Note; il s'agit des doux valeurs 

 exceptionnelles que peut avoir la fonclion de Poincaré 0(m), d'après le 

 théorème de M. Picard. Dans les Notes de M. Fatou (') et de M. Julia (") 

 relatives à l'itération interviennent deux nombres, exceptionnels à un autre 

 point de vue : ce sont les deux seules valeurs a, [3 que puissent ne pas 

 prendre les conséquentes J'„{:-) de la fonction rationnelle donnée /(s) en 

 un point de la frontière du domaine d'un point d'attraction, et cela d'après 

 la théorie des suites normales de M. Montel. Ces points a, [5, lorsqu'ils 

 existent, coïncident avec les valeurs exceptionnelles de la fonction 0(m). 

 Pour le vérifier, il suffit de chercher dans quels cas G ( a) admet une ou deux 

 valeurs exceptionnelles : on [)eut toujours supposer que ces valeurs sont o 

 et 00, et la fonction h(it) est alors de l'une des formes G (a) ou e*""\ en dési- 

 gnant par G(^u) une fonction entière; il suffit ensuite de chercher dans 

 quels cas G(S«) peut être lié rationnellement à G(m), ou c*^'^"' à p*^"". 



On retrouve aisément les cas signalés par M. Fatou et par M. Julia, qui 

 dans leur ensemble constituent la propriété 1° de la Note de M. Rilt. Ces 

 cas se subdivisent en deux : 



1° S'il y a une seule valeur exceptionnelle a, on peut supposer a = cc; 

 G(u) est alors une fonction entière de Poincaré, /{:■) un polynôme. 

 M. Valiron ('), dans sa thèse, a étudié ces fonctions au point de vue de la 

 croissance et il a trouvé pour l'ordre la valeur donnée par M. llitt dans sa 

 Note (2°). Le point exceptionnel a est, quel que soit a, un point invariant 

 pour lequel 5 = 0. 



2" S'il y a deux valeurs exceptionnelles, a et ^, on peut, en les transfor- 

 mant homographiquement en o et ce, ramener la substitution à l'une des 

 formes j, = z"^'" (m entier) et la fonction 0(«) à la forme e'", avec le multi- 

 plicateur ±m\ le paramètre A, dont dépend toute fonction de Poincaré, 

 peut être pris à volonté. Lorsque la forme réduite est z'", les points a et B 

 sont des points invariants à multiplicateur nul : tel est le cas pour 



c, = — ["(«) = tangw, /» = 2; a = «\ (3 = — i\. 



(') P. Fatou, Comptes rendus, l. I6.0, igij, p- 992. 

 C^) Gasto\ Julia, Comptes rendus, t. 16.'j. 1917, p. 1908. 



(^) (i. Valiron, Sur les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini {Annales de 

 la Faculté des Sciences de Toulouse, 3'^ série, t. \ , iQiS, p. 2o3). 



