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Lorsque la forme réduite est :;"'", les points a et j3 forment un cycle inva- 

 riant à multiplicateur nul : tel est le cas pour 



z, = -—^ — [9(«) = tang«/, w =— 2; a = (, (3 =— i]. 



3. Les fonctions de Poincaré permettent de résoudre le problème de 

 Vitération analytique, posé et étudié autrefois par divers auteurs. Il s'agit 

 de trouver une substitution s, = !p(;, /), analytique en s et en /, qui se 

 réduise pour / = o à s, = s, pour / = r à une substitution rationnelle 

 donnée 2, = f{:), et qui vérifie, quels que soient / et t', la i-elation 



o{z, t-i-l') = alw(z, t), /']■ 



Cette fonction a été appelée ['itérée d'ordre t de ./"(:;) et représentée 

 par /,(;). 



Le problème a été résolu dans le domaine dhm point double d'attraction 

 par M. Kœnigs et par Bourlet (-). Il consiste en somme à trouver un 

 groupe continu contenant les substitutions =, = s et ^, =f(z). Or, si cette 

 dernière est à points doubles distincts, elle admet au moins un point de 

 répulsion auquel correspond une fonction de Poincaré 0(m) et un multipli- 

 cateur s. Si l'on pose 



z = diu), z, = e(s'„), 



z, sera une fonction analytique de :■, en général multiforme, répondant à la 

 question, et uniformisée à l'aide du paramètre auxiliaire u. Cette fonction 

 résout le problème de l'itération analytique d'une façon générale, car ;, est 

 maintenant défini dans tout le plan de la variable z. Le groupe de substitu- 

 tions obtenu est isomorphe au groupe z, = s'z. Pour t entier, il y a une 

 seule itérée/^ rationnelle; pour t rationnel, il y en a un nombre fini, et 

 pour t irrationnel une infinité correspondant aux diverses déterminations 

 dee""^'. 



Pour une substitution rationnelle à deux variables, on peut de même 

 déterminer, dans des cas très généraux, un groupe continu à deux para- 

 mètres contenant la substitution, en utilisant la méthode d'itération para- 



(') Kœmgs, NoiH'elles recherches sur les équations fonctionnelles {Amiales'de 

 l'École Normale, i885). — Bourlet, Sur l'itération {Comptes rendus, t. 12G. 1898, 

 p. 583; Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1898). 



