SÉANCE DU 2 AVRIL 1918. 521 



lion, et qu'un axiome pour justifier cette sélection est nécessaire. Cet 

 axiome ou principe de sélection de M. Zermelo intervient aussi dans un très 

 grand nombre d'autres théorèmes d'analyse mathématique : par exemple 

 dans le théorème dans lequel M. E. Borel (189'i) a saisi la partie essentielle 

 de la démonstration de MM. Cantor et Heine sur la continuité uniforme 

 d'une fonction continue d'une variable réelle. M. H. Lebesgue (190/1) a 

 donné de ce théorème une démonstration indirecte et lout à fait indépen- 

 dante du principe de M. Zermelo. Plus taid M. F. Hartogs (191 5) a 

 employé une argumentation analogue à celle de M. Lebesgue pour démon- 

 trer qu'il y a un nombre ordinal qui est plus grand que tous les types ordi- 

 naux, dans lesquels peuvent être bien ordonnées toutes les parties d'un 

 ensemble quelconque M qui sont capables d'être bien ordonnées. Dans la 

 présente Communication nous nous proposons de suivre une route un peu 

 dillerente qui nous permet d'atteindre un résultat plus complet que celui 

 de M. Hartogs, et qui n'est autre chose que le théorème de M. Cantor 

 rappelé ci-dessus. Nous démontrons en effet qu'il y a une partie particu- 

 lière de M qui est à la fois capable d'être bien ordonnée et d'épuiser M. 



Considérons toutes les parties de M qui peuvent être bien ordonnées, et 

 ordonnons dans ces conditions ces parties de toutes les façons possibles. 

 Appelons « chaîne de M de type y » toute partie de M qui est bien ordonnée 

 dans le type ordinal y, pourvu que la même partie dans des ordres diffé- 

 rents (même si la partie dans tous ces ordres est du même type) forme des 

 chaînes différentes. Une chaîne est ainsi une classe de couples (w, a), 

 où m est un membre de M et oc est un nombre ordinal, tels que dans chaque 

 chaîne le même m ou a ne peut pas figurer plus d'une fois, et aussi, si a 

 figure, tous les nombres ordinaux moindres que a figurent aussi. Evidem- 

 ment une chaîne peut être facilement bien ordonnée d'après l'ordre de 

 grandeur des nombres a des couples. Nous disons qu'une chaîne épuise M 

 quand M est épuisé parles membres gauches (m) des couples. Une chaîne P 

 est un segment d'une chaîne Q si tous les membres-couples de P précèdent 

 quelque membre-couple de Q, les chaînes P et Q étant, comme toujours 

 ici, bien ordonnées de la manière dont on a parlé plus haut. 



S'il y a une chaîne K telle qu'il n'est pas possible de prolonger K par 

 l'addition d'un membre de M en fin de K, de sorte qu'on forme une nou- 

 velle chaîne K' dont K est un segment, il est évident que Iv épuise M. 

 Démontrons qu'il y a au moins une chaîne telle que K qui ne peut pas être 

 ainsi continuée, ou plutôt qui n'est pas ainsi continuée par des autres 

 chaînes de M. 



