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Si l'on applique, pour un moment,, le principe de M. Zermelo au cas où 

 l'on suppose que toutes les chaînes de M sont continuées, on trouve faci- 

 lement, en faisant des sélections absolument quelconques, que chaque 

 chaîne L de M est segment d'une chaîne L' de M telle que, si l'on prend un 

 nombre ordinal y aussi grand qu'on veut, il y a toujours un segment de L' 

 du type y. Mais on peut démontrer, tout à fait indépendamment du prin- 

 cipe de M. Zermelo, que ce résultat est faux. 



En effet, une chaîne telle que L' est bien ordonnée; donc son type (|3) 

 est un nombre ordinal; et, puisque L' doit avoir (par hypothèse) un seg- 

 ment du type y quand y = [3, on a jï >• p. Donc le résultat nommé plus 

 haut est faux. Donc sa négation est vraie. 



Pour ce qui va suivre, introduisons la conception d'une « série S^ de 

 continuations directes d'une chaîne (K) de M », c'est-à-dire une série de 

 toutes les continuations possibles (dont K est un segment) de K telle que, 

 si K' (de type y') est un membre de cette série S,;, tous les membres de Sk 

 qui ont des types moindres que y' sont des segments de K'. Dans un 

 ensemble du nombre cardinal $«(,, par exemple, il n'y a aucune série de 

 continuations directes qui nous permette d'atteindre des chaînes de tous les 

 types moindres que oj,, le premier nombre de la troisième « classe de 

 nombres » de Cantor, car autrement cette série aurait déterminé elle-même 

 une chaîne du type co,. Il est vrai qu'on peut toujours trouver dans un 

 ensemble du nombre cardinal ïî„ des parties qui peuvent former des chaînes 

 de tous les types moindres que co, ; mais, bien entendu, ce dernier ensemble 

 de chaînes ne peut pas former une série de continuations directes; il forme 

 plusieurs de ces séries. 



Nous avons vu qu'il n'est pas vrai que, étant donné un nombre ordinal y 

 aussi grand que l'on veut, une chaîne quelconque de M et une série quel- 

 conque de continuations directes de cette chaîne sont toujours telles qu'il y 

 a, dans la chaîne définie par cette série, un segment de type y. 



La négation de la proposition ci-dessus est : il y a au moins un ensemble 

 (y, Iv, Sk) t^' qu'il n'est pas vrai que la chaîne définie par S^ a un segment 

 de type y. Il y a donc un nombre qui est le moindre nombre ordinal X,, 

 pour cette K et cette S,;, tel qu'il n'est pas vrai que la chaîne définie par Sg a 

 un segment de type '(. Le nombre ordinal "( est le type de la chaîne qui est 

 définie par S^. Nous voyons donc qu'il y a ainsi une chaîne de M qui n'est 

 continuée par aucune chaîne de M au delà du type Ç. 



Dans la série de nombres ordinaux, il y a donc un nombre qui est le type 

 ordinal d'une chaîne de M qui n'est pas continuée: appelons cox le moindre 



