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arrivait à établir que le nombre total considéré est égal au produit de la 

 somme des diviseurs impairs de m par le facteur 8[2 -i- (— i)'"], théorème 

 bien connu par d'autres méthodes. 



D'autre part, M. P. Fatou, dans une Note extrêmement remarquable ('), 

 a fait voir, en étendant une analyse célèbre de Dirichlet, qu'on pouvait 

 évaluer très simplement le nombre total des représentations, propres et 

 impropres, d'un entier impair m, par Vensenible des formes réduites, posi- 

 tives, proprement primitives, à indéterminées conjuguées, et de détermi- 

 nant (négatif) donné D; sa formule fondamentale est la suivante : 



Soienty(a-,y),y"'(a:, j), ... ces réduites [nous écrivons y(j:, j) au lieu 

 de/'(ic, y, ^0' Jo) pour simplifier]; soit A''^' le nombre des transformations 

 |.r, y; \x~[-vy, ]xx -h pj|, à coefficients entiers complexes et à détermi- 

 nant Àp — [J.V égal à 4- I, de la forme y''^' en elle-même; on aura 



Au premier membre, S porte sur tous les entiers complexes Xi, j,, tels 

 que /(a;,, y,) soit impair et premier à D; de même pour 2' et y, ...; ^ est 

 une quantité donnée, quelconque d'ailleurs, et supérieure à i. Au second 

 membre, les sommes Zn'^ et Sn"'''^' portent sur les entiers réels, positifs, n, 

 premiers à 2D (-). 



Dans le cas de D = — i, il n'y a qu'une seule réduite, xx„-\- yfo^ quant 

 à. ki\ est égal à 8, et la formule de M. Fatou montre de suite que le nombre 

 total des décompositions de m, impair, en une somme de quatre carrés, 

 est huit fois la somme des diviseurs de m : c'est, semble-t-il, la manière 

 la plus simple et la plus naturelle de déduire ce résultat des principes 

 d'Hermile. 



Dans le cas général, la formule (i) apprend (Théorème de M. Fatou) que le 

 nombre total des représentations de m (impair et premier à D) par les 

 formes y, y, ..., est égal à la somme des diviseurs de m, une représentation 

 par /''^' comptant pour i : k!^''K 



(') Comptes rendus, l. 142, 1906, p. 5o5. 



(-) M. Fatou, par une erreur de pure forme qui ne touche en rien au fond même de 

 son raisonnement, a écrit la formule (1) comme si les A', /,', . . . étaient égaux entre 

 eux; il m'a indiqué lui-même la modification à apporter. Une modification analogue 

 doit être faite dans la seconde formule de M. Fatou, qui donne le nombre des classes 

 de formes positives, proprement primitives, de déterminant D. 



