SÉANCE DU l5 AVRIL 1918. 583 



2. Peut-on obtenir une proposition analogue à celle de M. Fatou dans le 

 cas des formes d'Hermite indéfinies? 



Bornons-nous au cas des formes indéfinies, 



a xxo -ï- ù.r„y -{- b^xy„ -+- cyfg, 



proprement primitives (c^esl-k-àire a, b,h„, c sans facteur commun, et a, e 

 non pairs à la fois), de déterminant (positif) D. 



Dans chaque classe de formes de déterminant D, choisissons u/i représen- 

 tant (a, b, b„, c), tel que a soit positif ; désignons par f(x,y^, /'(ac^y'), 

 f'\x, y), ... les formes ainsi choisies. 



La seule difficulté qu'on rencontre en essayant d'appliquer l'analyse de 

 Dirichlet, à partir des principes d'Hermite, est la suivante : si un nombre m 

 est représentable par f^x^y), c'est-à-dire si l'on a m=^ f{\, y]), de cette 

 représentation (i, ï]) on eil déduit une série infinie d'autres, en faisant subir 

 à \, ■/] une quelconque, Sy, des substitutions de déterminant -+- 1 qui 

 changent y en elle-même; dans chaque série de représentations, il s'agit 

 d'en isoler une, nettement définie ; de même pour /',/"■, — Or les substi- 

 tutions Sy forment un groupe, F, automorphe et à cercle principal, dont 

 M. Picard, le premier, a établi l'existence et dont il a appris à former un 

 domaine fondamental; soit donc (ô un de ces domaines, dans la région du 

 plan analytique qui est extérieure à la circonférence (réelle) 



a(?--4- -O') + /•'o(^-+- ''^') -^b{l — in) + c — o; 



parmi les représentations (d'une même série) de m, positif et impair, par y, 

 il en est une et une seule, m=: f{xi,yf), qui jouit des propriétés sui- 

 vantes : 



1° Le point analytique Xi :y,, que nous désignerons par r,, est à l'inté- 

 rieur ou sur le contour du domaine uO. 



2° La partie réelle de j, est positive ou nulle; si elle est nulle, la partie 

 imaginaire est positive ou nulle. 



On peut abandonner la condition 2"; alors, parmi les représentations 

 d'une série, la condition i° en isole deux, du type ^,, y, et — ,r,, — j,. 



Cela posé, il est aisé de voir que la formule (i) doit être remplacée par 

 celle-ci : 



