584 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Au premier membre, 2 porte sur tous les entiers complexes Xi,yi, tels ; 



1° Quey(a;,-, j,) soit positif et premier à 2D; 



2° Que le point ^;= — soit à l'intérieur ou sur le contour de cJj. 



Des définitions analogues s'appliquent aux sommes S', ..., en introdui- 

 sant tO' et/"', ..., au lieu de tD et/'. 



Au second membre, les S portent toujours sur les entiers réels, n, positifs 

 et premiers à 2D. 



3. On en déduit immédiatement ce théorème : 



Le nombre des représentations de m, positif, premier «2 0, par les formes 

 fi f 1 f ■> • • •> ^■^^ deux fois la somme des diviseurs de m, sous la condition que, 

 parmi les représentations, m =y'^'(a;, y), de m par f''\ on ne garde que celles 

 pour lesquelles le point analytique x \y est à l'intérieur ou sur le contour du 

 domaine (Sà^ qui correspond à f'K 



Si le point a; : j' est sur le contour de cD/^, la représentation correspon- 

 dante de m par y"'*' ne comptera que pour -; s'il est en un sommet faisant 



partie d'un cycle de v sommets équivalents, elle comptera pour — 



Nous allons maintenant indiquer quelques applications du théorème 

 précédent, en nous bornant à des déterminants D pour lesquels il n'y a 

 qu'une classe de formes proprement primitives; pour obtenir tO, nous avons 

 employé une méthode proposée par nous (Comptes rendus, t. 162, 1916, 

 p. 698), qui, conduisant à des résultats plus simples et plus symétriques que 

 les autres méthodes, donne des énoncés arithmétiques assez élégants, d'un 

 type qui semble nouveau. 



Dans tous ces exemples nous introduirons, au lieu de cD, l'ensemble cD, 

 de (D et de son symétrique par rapport à l'origine des coordonnées; le 

 nombre des représentations correspondantes sera quatre fois (et non deux 

 fois) la somme des diviseurs de m. 



4. Exemple / (D = i ; forme xx„ —yjo)- — '0, est la région infinie exté- 

 rieure aux quatre cercles ^- + y]-q:2^qr2y]-t-i =0, qui sont les quatre 

 cercles de rayon i tangents aux deux axes de coordonnées. Dès lors : 



