SÉANCE DU l5 AVRIL I918. 585 



Le nombre des représentations de m positif, impair, par xx^ — v/o) f^^^^^ '^ 

 condition que le point x '.y soit dans la région {S)f,est quatre fois la somme des 

 diviseurs de m. 



On reconnaît aisément que le point x'.yne peut jamais être sur une des 

 circonférences limites, en sorte que toute représentation compte toujours 

 pour une. 



En posant x =^ s -hit, j = m -H jV, on peut énoncer le théorème, sous 

 forme réelle, de la manière suivante : 



On considère, m étant un entier positif , impair, les représentations 



(3) m^z^+t^ — a'^ — V- (s, ..., c entiers réels, = o), 

 pour lesquelles on a 



(4) Z^-h f^+ «--+- l'-> 2\zu-i- tv\ + 2\zt>— tll\\ 



te nombre de ces représentations est quatre fois la somme des diviseurs de m. 



Vérification. — Soit m = 9; si £, s', . . . désignent ± i, on a 



(5) 9 ={36)2+ 0^-0»— 0% 



(6) 9^(3£)=+(£')^_(£")^-0% 



(7) 9^(5E)^^-o^-(4^')■^-o^ 



Les représentations (5), en permutant 3e et o, sont au nombre de 4; les (6) 

 sont au nombre de 2.2.2.2.2, ou 82; les (7) au nombre de 2.2.2.2, ou 16; 

 et toutes conviennent, parce que, pour toutes, l'inégalité (4) est vérifiée. 

 Or 4 H- ^2 -I- 16 = 52, ce qui est quatre fois la somme des diviseurs de 9; 

 aucune autre représentation de 9 ne peut donc satisfaire à (4). Par exemple, 

 pour la représentation 



9 = (3£)2 4-(2£')'-(5s")'-0'' 



I z« 4- /t" I et 1 5c — lu I sont (à l'ordre près) 6 et 4 ; le premier membre de (4) 

 est 17, et le second, 2.6 -h 2.4, ou 20, est supérieur à 17. 



Exemple // (D = 2; forme xx„ — "i-yya)- — Le domaine (D, résulte des 

 indications de notre Note de 1916 citée plus haut. Le résultat final est le 

 suivant : 



