586 A.CÂDÉMIE DES SCIENCES. 



On considère, m étant un entier positif impair, les représentations 



(8) m = ;2+i'— 2«2 — ac' ("s, ..., c entiers réels, | o) 



pour lesquelles on a 



(9) c=H-f»+2««-+-2(''>3A -f-B, 



A, B désignant [à Vordre près) les quantités \zu -\-tv |, | se — tu | acee A ^ B : 

 le nombre de ces représentations est quatre fois la somme des diviseurs de m. 

 Une représentation pour laquelle on a le signe =, dans (9), ne compte que 



pour - • 



Vérification. — Soit /w := 3 ; on a 



3 = (2£)2+(£')2_2(£")=— 2.o2; 



ce qui donne 32 représentations, pour lesquelles A et B sont 2 et i ; alors le 

 premier membre de (9) est 7, et le second est 7 également : chacune des 



représentations considérées ne doit donc compter que pour-, d'où, fina- 

 lement, --32 ou 16 représentations; 16 étant quatre fois la somme des divi- 

 seurs de 3, on a ainsi toutes les représentations satisfaisant à (9). 



Exemple III (0 = 3; forme œx^ — 3ry„), — Le domaine i£>, résulte 

 également des indications de la Note de 1916. 



On considère (^m positif , premier à 6) les représentations 



(10) mT=z'^ + f—'iu- — Zv'^ 



pour lesquelles on a à la fois 



(11) z^-^t^ + Zu^ + Zi'-^ll^K, 



(12) î2+^î_^3,,2_i_3,,2>3A^_^2B_ 



A e< B étant toujours (à Vordre près) y \zu-+-tv\^ \zv — tu\y avec A^B : le 

 nombre de ces représentations est quatre fois la somme des diviseurs de m. 



Même remarque que précédemment dans le cas où il y aurait un 

 signe = dans (11) ou dans (12); ce signe ne peut se présenter à la fois 

 dans (i i) et dans (12). 



