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2. Supposons que la fraction z, = <p(s) présente plus d'un point d'attrac- 

 tion. On se propose d'étudier la nature géométrique des continus frontières 

 des domaines de convergence. M. Fatou a donné sur ce sujet une Note 

 intéressante dans les Comptes rendus (t. 166, p. 2o4) du 4 février 1918 et il 

 montre qu'un tel continu ne peut être formé d'un seul arc analytique. Voici 

 trois exemples types entre bien d'autres, où se trouve précisée la nature de 

 ces continus. 



s ■+- z^ 

 1° La fraction 5, = - — ^ admet o et 00 pour points d'attraction. Le 



plan est divisé en deux régions D^ etD„, toutes deux simplement connexes, 

 domaines respectifs de convergence vers o et ce, séparées par un continu C 

 qui est une courbe de Jordan fermée simple, au sens classique et rigoureux 

 de ce mot. Sur cette courbe les points-racines des équations :; = cp„(s) 

 pour /2 = 2, 3, . . ., ce sont partout denses, et en ces points |i^X^)| > i. On 

 peut donner du continu C une génération analogue à celle que Poincaré 

 indique dans son Mémoire sur les groupes kleinéens pour sa courbe 

 dépourvue de cercle osculateur. 



2° Partons d'une fraction ©(=) à cercle fondamental F, pour laquelle 

 existent deux points d'attraction t, et t^ symétriques par rapport à T, l'in- 

 térieur et l'extérieur de T étant les domaines respectifs de convergence 

 vers '(, et Ço. On démontre qu'on peut imprimer aux coefficients de ç(=) 

 des variations assez petites pour que la nouvelle fraction $(-) ait 2 points 

 d'attraction Z, et Z^ voisins de "(, et "(o, et dont les domaines D._ et D.^ soient 

 l'intérieur et l'extérieur d^une courbe de Jordan fermée simple C voisine du 

 cercle T. Sur C les points-racines (') de ^ = $„(;) où |$^,(^)|> i sont 

 partout denses; les variations de coefficients peuvent être choisies telles 

 ([Vl aucune des quantités <I*^-) relatives aux points s = $„(^) n'ait un argu- 

 ment nul ou même commensurable à i-k\ en aucun de ces points la courbe C 

 ne pourra donc avoir de tangente. 



3° Prenons ^, = — ^- Il y a trois points d'attraction qui sont — i, 



-H I, 00. Le domaine immédiat R, de convergence vers + i est limité par 

 une courbe de Jordan simple fermée C, passant à l'origine. Le domaine 

 immédiat R', de — i est symétrique de R, relativement à l'origine, sa 

 limite est G, symétrique de G,. On montre que C, est tout entière à droite 

 de l'axe imaginaire, et G, à gauche. Le domaine total de convergence de 



(' ) Points de l'ensemble que j'ai appelé E. 



