SÉANCE DU l5 AVRIL I918. 60I 



-+-1 est composé d'une infinité d'aires simplement connexes (') antécé- 

 dentes successives de R,. 



Le domaine total du point (—1) est symétrique de celui du point (+ i). 

 Envisageons l'ensemble des courbes de Jordan qui limitent l'aire R, et 

 toutes ses antécédentes, l'aire R' et ses antécédentes, et adjoignons-lui 

 l'ensemble des points limites de toutes ces courbes, nous obtenons un seul 

 continu linéaire V qui jouit des propriétés suivantes : 



a. Il divise le plan en une infinité de régions qui sont : R, et toutes ses 

 antécédentes, R', et toutes ses antécédentes, enfin R„ domaine de conver- 

 gence total vers l'oc. R. est un domaine simplement connexe limité par F. 

 Tout point du plan appartient à T, ou à R,, ou à R,, ou à R, , ou à une 

 antécédente de R, ou de R, . 



b. r est une courbe de Jordan fermée mais non simple, c'est-à-dire qu'on 

 peut la représenter par des équations x—f{t), y = 'g(() où / et g sont 

 continues, mais F possède des points doubles partout denses sur elle-même, 

 à savoir l'origine et tous les antécédents de l'origine. 



Voici un schéma propre à représenter une telle courbe F. Considérons 

 deux triangles équilaléraux égaux opposés par leur sommet O; ils divisent 

 le plan en trois régions que j'appellerai A,, il',, a'j' par analogie avec ce 

 qui précède; soit P, la ligne brisée fermée qu'ils forment. Au milieu de 

 chaque côté de P, plaçons le sommet d'un triangle équilatéral intérieur 



à cRJ', à côtés parallèles à ceux de P, et dont le côté soit le ^ du côté de P, ; 



P, joint à ces triangles donne une ligne polygonale fermée P, qui délimite 

 encore un domaine simplement connexe il j , ainsi que d'autres domaines 

 triangulaires. Au milieu de chaque côté de P2 plaçons le sommet d'un 

 triangle équilatéral intérieur à Alf', à côtés parallèles à ceux de Po et dont 



le côté soit le ^ du côté considéré de P., ; Pj joint à ces triangles fournit la 



o 



ligne brisée fermée P3 qui délimite le domaine simplement connexe A|.", ... 

 Ce processus continué indéfiniment donne des hgnes P,, Po, P3, ... qui 

 tendent vers un continu ayant toutes les propriétés de F indiquées plus 

 haut. 



(') Ces antécédentes successives tendent vers zéro dans toutes leurs dimensions. 



