6o2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités irrégulières des équations 

 linéaires. Note de M. René Garnier. 



Dans une Note précédente (') j'ai montré que, si l'on considère une 

 équation différentielle linéaire du second ordre 



comme limite d'une équation {c) à w -H 2 points réguliers e,, on retrouve 

 dans les intégrales normales J^du point .t = co la trace des intégrales cano- 

 niques des e, ; et, dans les produits a|a^, a^a^^,, des coefficients des relations 

 caractéristiques 



(«) yU^ — yl = <4yl, yU^-yl-<^L^yL^ 



du point r = oc, on saisit la trace des invariants du groupe de monodromie 

 de (c). Dans cette Note, j'appliquerai les résultats précédents à l'étude de 

 la disposition des zéros des intégrales de (E„), et je les étendrai rapidement 

 aux équations de seconde espèce (s = o). 



1. Dans le secteur 



Ai (4A — i)7H--/)S2(m + i)Ô5(/i/r + i)7: — -fl [,r = re'9; r>;-„(r,)], 



nous connaissons y}, jj,^,, asymptotes à (^) œ^ie'^'^-'"', et de très grand 

 module, et yl, asymptote à x^-- e"^-^"^' , et de module très petit; dans A[. une 

 intégrale quelconque y s'écrira donc sous la forme 



forme encore valable pour (2/w + i) 9 = (4/i: — 1)11, mais non pour 

 {■2m 4- i)0 = (4^" + i)u, direction étrangère au domaine de convergence 



(') Comptes rendus, t. 166, 1918, p. io3. 

 (^) Les polynômes t|i, e 

 pour simplifier l'écrilure) 



(^) Les polynômes t|i, et — (J>2, nuls avec x, commencent par^ {s réel et > o 



