SÉANCE DU l5 AVRIL 1918. 6o3 



de yl. Puis, dans le secteur D^. qu'on déduit de A^ en faisant •/] = o, mar- 

 quons les racines Hy(±y= o, i, 2, . . .) de 



A, e '"-*-' -t- A.e "»-*"' =0; 



elles s'échelonneront sur une branche de l'hyperbole 



/•'«+' cos(m -I- i)9=C, 



qui admet les frontières de DJ. comme asymptotes (et, pour log|A,: AJ 

 assez grand appartiendra tout entière au domaine de convergence). 



Ceci fait, de Hy comme centre, décrivons une circonférence yy de 



rayon p|^y|"'^' (p, très petit); pour \j\ assez grand, chaque yy contiendra 

 une racine (et une seule) dej)' = o; on aura ainsi une suite infinie de racines 

 tendant vers le bord droit de D]; mais le bord gauche nous est encore 

 interdit. Pour l'approcher, remarquons que rune des relations (a) permet 

 d^exprimer y en fonction de yl et yl^^ (définies le long du bord gauche^; et 

 l'on aura construit ainsi pour l'équation y ^= o une ligne ( ' ) doublement 

 illimitée de zéros ("), chacun enfermé dans un yy. D'ailleurs, l'ensemble des 

 relations caractéristiques permettrait de former des lignes analogues dans les 

 autres secteurs. Ici encore on observera que, si le résultat précédent a été 

 atteint, c'est parce que la méthode des approximations successives permet 

 d'individualiser deux intégrales jkÀ+m J*» ^1^', dans Al, n'en auraient cons- 

 titué qu'une pour la théorie des séries asymptotiques. 



2. Etendons maintenant ces résultats et ceux de nos Notes antérieures 

 aux équations de seconde espèce (5 := o). Dans ce cas, les approximations 



( ' ) Deux demi-lignes si log | A, : A^l est inférieur à la limite dont il a été question. 



(') C'est la généralisation d'un fait analogue établi par M. P. Boutroux pour l'équa- 

 tion de Bessel xy" -h 2 py' -h xy = o, à l'aide d'une méthode féconde, indépendante 

 de la théorie des équations linéaires. On peut, du reste, retrouver le résultat de 

 M. P. Boutroux en posant y ^=:^ zx'^p cos{x — G), s étant solution de l'équation de 

 Vol terra 



où le chemin d'intégration est parallèle à l'axe réel. 



