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successives fournissent encore 2w + i intégrales normales 



r>t(±/.=:o, I, ..., m). 



formant cette fois un seul groupement, et yj^ étant définie, pour «jm-, positif, 

 dans le secteur 



iy\ (2A — 3)7H-T/<(2m + i)0<(2/, -+-3)71 — Yi [r> ro{ri)], 



où elle est de la forme x^ e'^^''\i -\- . . .) [x.(^) étant le produit de \/âI^I7ï 

 par un polynôme d'ordre m, nul avec .x\. Pour 



àk (2A — i)7:H-ï)<(2«i-+-i)9<(2A--t-i)7r + Yi, 



on connaît donc trois intégrales normales, qui seront encore liées par des 

 relations du type (a). Mais cela ne suffirait pas pour conclure que ces 

 nouvelles relations jouent le même rôle que les anciennes dans la dégéné- 

 rescence des invariants de H. Poincaré; il faut encore établir qu'on peut 

 passer par continuité des intégrales normales de (£„) (avec s ^ 0) aux inté- 

 grales normales d'une équation de seconde espèce. 



3. Résumons rapidement la méthode. Soit s-x'^"^ + a„„,_^x-"^~^ ^X'; 

 on peut former une fonction rationnelle V(a;, X) telle qu'en posant 

 dans (Eo) 



z satisfasse à une équation dont le coefficient de z, rationnel en x et X, 

 présente a; = co comme infini (algébrique) d'ordre 'Sm — 1. Dès lors, les 

 approximations relatives à l'équation en z convergeront le long des courbes C 



qui donneront à 1 X.dx un argument constant cp„, compris, par exemple, 



entre — h y] et y]; et, dans la région balayée par C quand cpo et x^ 



varient, elles fourniront un système d'intégrales équivalentes aux intégrales 

 yl, yl. Mais, pour a?,, = o, C présente x ^ o comme point d'arrêt, commun 

 à 2. m -h I branches; \xg\ grandissant, C se comporte dans le voisinage de 

 07 = comme une hyperbole à 2m-)- i branches, puis s'en éloigne, sans 

 pouvoir atteindre cependant le point singulier "( = — a2,„-,s~-; enfin, les 

 directions asymptotiques de C coïncident toujours avec celles de H. Ces 

 remarques conduisent à la conclusion suivante : 



