SÉANCE DU l5 AVRIL 1918. 6o5 



Si 5 tend vers o, C s'éloignant à l'infini à l'intérieur d'un A;;, tout se passe 

 comme si ce secteur était supprimé, les im -+- i restants étant élargis de 

 façon à combler le vide; et, de plus, les ensembles des valeurs prises par les 

 intégrales normales y{ qui occupent A/,, sont incorporés aux ensembles ana- 

 logues des autres secteurs, le nouveau dispositif tendant vers celui des inté- 

 grales normales de seconde espèce. La discussion précédente achevée, on 

 peut alors affirmer que tes notions de relations caraeléri s tiques et de para- 

 mètres d'un point irrégulier de première espèce conservent toute leur significa- 

 tion pour les points de seconde espèce. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le maximum du module 

 des fonctions entières. Note de M. Valiron, présentée par M. Hadamard. 



Soient f{z) = ~c„z" une fonction entière, M(r) le maximum du module 

 de la fonction pour j = | = r et m(r) le terme maximum, c'est-à-dire le plus 

 grand des nombres |c„|/-". M. Wiman a montré récemment (*) que, pour 

 une infinité de valeurs de r indéfiniment croissantes, on a l'inégalité 



1 



■ s 



(i) M(r)< /«(/■) [log/«('-)? ('>°'/-™^'^°). 



Je vais montrer que celte inégalité est vraie presque partout, et donner en 

 même temps, en employant une représentation géométrique due à M. Hada- 

 mard (-) dont j'ai déjà fait usage ailleurs ('), une démonstration plus 

 naturelle des diverses propositions démontrées par M. Wiman. 



Désignons par — ga le logarithme de |c„|, et construisons avec les 

 points A„ de coordonnées n, g„ un polygone de Newton ~(/) concave vers 

 le haut, ayant pour sommets certains des points A„ et laissant les autres du 

 côté de sa concavité. Le rang n(^r) du terme maximum m(r) est l'abscisse 

 du sommet de ~(/) pour lequel la droite de coefficient angulaire \ogr 

 passant par ce sommet ne coupe pas ~{f)- La connaissance de •::(/) 

 entraîne donc celle de m{r) et réciproquement. Si G„ est l'ordonnée du 



(') Acla matheniatica, t. 37, p. 3o5. 



(-) Journal de Mathématiques, iSgS, p. 171; Bulletin de la Société mathéma- 

 tique, i8g6, p. 186. 

 (') Thèse, 1914; Bulletin de la Société mathématique, 1916, p. 43. 



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