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point d'abscisse n de t:(/), la série à termes positifs 



F(r) = ie-''-/-" 



majore M(/-) et a même polygone -(F) = •::(/) et, par suite, même 

 maximum que /(i;). 



Soit §{/) une fonction F(r) donnée qui nous servira de terme de compa- 

 raison, pour laquelle M(r) = #(/•) et le terme maximum m(r) vérifient la 

 relation 



(a) M(r)< /«(/■) '-f ['«('•)], 



ç(.r) étant une fonction non décroissante déterminée. Soit Q'„ la valeur 

 de G„ pour la fonction #(r). Si, pour une fonctiony(3), on a G„ ^ ç^, l'éga- 

 lité ayant lieu pour une valeur «„ de «, les fonctions M(7-) et Tn{r) relatives 

 à /(^) vérifient aussi (2) pour les valeurs de r pour lesquelles le rang du 

 terme maximum dans #(r) est n^. De cette remarque évidente résulte la 

 proposition suivante : 



I. Si, pour une fonction /(=), on a 



(3) lim -(G„ — (,'„)—+ oc, 



les fonctions M(7-) et m{r^ relatives à /"(s) vérifient l'inégalité (2) pour une 

 infinité de valeurs indéfiniment croissantes de r. 



En effet, k étant supérieur à un et / positif, les fonctions M(r) et rn{r^ 



relatives à '^■^(7 ) vérifient aussi (2); d'autre part, /étant un nombre positif 

 quelconque, on peut, en vertu de la condition (3), déterminer un nombre X:(/) 

 tel que tous les côtés du polygone 1: k{l)i{-j\ soient au-dessous du poly- 

 gone '^(f) et que ces deux polygones aient au moins un sommet commun, 

 soit /i(/) la plus petite des abscisses de ces sommets communs. On voit sans 

 peine que k(l) croit avec /, il est d'ailleurs évident que k{l) devient infini 

 avec /, k(^l) est ainsi supérieur à un pourvu que / soit assez grand, on est 

 donc dans les conditions d'application des remarques précédentes. D'autre 



part, la pente d'un côté de rang fixe et quelconque de tt 



mente avec / et peut dépasser tout nombre donné, il suit de là que nQ) ne 



'KI)s{^-^)\ aug- 



