SÉANCE DU l5 AVRIL 1918. 607 



peut décroître et devient infini avec /. L'inégalité (2)3 donc lieu pour une 

 infinité de valeurs indéfiniment croissantes de r. 



Pour obtenir un résultat général, il suffit de remarquer que, dans le rai- 

 sonnement précédent, rien ne suppose que ;T(r) soit une fonction entière. 

 Nous pouvons prendre pour -?(r) une série entière de rayon de convergence 

 égal à l'unité 



Hfa?) étant une fonction croissante non bornée telle que les points de coor- 

 données n, H(n) soient les sommets d'un polygone r\i) concave vers le 

 haut, et telle qu'on ait toujours une relation de la forme (2) entre M {r) = §{r) 

 et le terme maximum m(r), terme maximum qui existe d'après l'hypothèse 

 faite sur la croissance de ll(œ). L'inégalité ( 3) dans laquelle (.]„ est pris égal 

 à H(n) est alors vérifiée pour toute fonction entière, et par suite les fonc- 

 tions M(r) et m(r) relatives à une fonction entière quelconque vérifient 

 aussi la relation ( 2) définie par la série entière ^(r), tout au moins pour 

 une infinité de valeurs indéfiniment croissantes de r. 



On peut préciser les valeurs de r pour lesquelles l'inégalité (2) a lieu : 

 à tout nombre positif / suffisamment grand correspondent des valeurs don- 

 nant (2), en particulier la valeur définie par l'égalité 



iog/- = iog/-H'[/n/)j, 



îî'(x) désignant un nombre quelconque compris entre les dérivées à gauche 

 et à droite de la fonction représentée par le polygone ~(S). En faisant 

 croître /continûment, on voit que les intervalles de variation de log/' dans 

 lesquels (2) n'a pas lieu sont intérieurs à ceux constitués par les sauts de 



la fonction 



log/-H'[«(/)]. 



Comme n{l) ne décroit pas, que H'(x) décroil et tend vers zéro lorsque x 

 croit, la somme de ces sauts est arbitrairement petite pour r> R. D'où le 

 résultat général : 



IL L'inégalité (2) étant vérifiée pour une série entière i(r) satisfaisant 

 aux conditions précédentes, cette inégalité est vérifiée pour les fonctions 

 M(r) et m(r) relatives à une fonction entière quelconque, sauf peut-être 

 dans un ensemble dénombrable d'intervalles à l'intérieur desquels la varia- 

 tion totale de logr est inférieure à un nombre arbitrairement petit e pourvu 

 que r> R(ô). 



