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lui fait correspondre une fonction A(^) également continue 



(3) /.(0=9(0+/ ?(T)'I'\r, /)./t 



[^(t, t) noyau résolvant de $(t, /)]. Deux cas se présenteront : 

 1° X(ï) est développable en une série de puissances 



oc 







uniformément convergente pour o<^^R,. D'après (i) et (2), o(/) admet 

 dans le même domaine le développement uniformément convergent 



(«) y Cl, Ml). 







2" Sinon a(/) est développable pour o</ j;R en une série de polynômes 



(b) y \al"'+a\'"t-^...A-a',:',:-^ 



ou en déduira pour o(t) la série uniformément convergente 



(P) y [«»"7"(0 + «'/"/. (0+... + </,„(0]. 



^^ n 

 



2. Inversement, par (3), on passe d'un développement (a) ou (|3) unifor- 

 mément convergent à un développement (a) ou (/>) uniformément conver- 

 gent. Donc, les séries (a) et (a) ou (b) et ( ^) ont, sur le segment o::l^a et à 

 partir de t ^= o, même domaine de convergence uniforme. 



3. En résumé, toutes les fois que, à partir du système des fonctions y„, 

 on pourra construire <ï'(t, t) vérifiant (r), on saura, grâce à l'équation (2), 

 résoudre le problème de développer une fonction arbitraire o(/) en série 

 linéaire de fonctions /„. L'étude de la convergence des développements 

 ainsi obtenus [(a) ou (f))] est d'ailleurs ramenée à celle de la convergence 

 des développements (a) ou (è) qui sont infiniment plus simples. 



