SÉANCE DU 6 MAI 1918. ^25 



4. Exemple de construction de $(7, t). — f{t) étant dérivable deux fois, 

 telle que/(o) = i,/'(o) = o. Prenons pour les/^ : 



(4) Mt)=f(t), /,(o==>(0, •••, /„(0=/"^'(0, ••• ('). 

 Il est aisé de construire $(-:, /). Comme on a 



/(0 = i+ÎV"(0- 

 on vérifiera la première condition (i) en prenant 



Cette première condition ne change pas si roii remplace $ par 



.|> étant arbitraire telle que j'C") = o. On peut choisir ]/ de façon à vérifier 

 la deuxième des formules (i); et ainsi de suite. 



Les résultats indiqués aux n"" 1, 2, 3 sont donc valables pour le système 

 des fonctions (4). Ils pourraient aussi se déduire de ceux de ma Thèse 

 (Journal de Mathématiques, chap. IV, 1916, p. 7g et 84), en supposant que 

 la fonction quej'appelle dans ma Thèse /{jc, y) est permutable avec l'unité, 

 c'est-à-dire fonction de la seule variable y — a; = /, et analytique. 



5. Posons, pour la transformation fonctionnelle (2), la notation 

 (2) ?(0 = ).(0+ /">■{-)*(•, 0^-=-^[>(0]: 



(' ) J'explique ces no la lion s. Remplaçons un inslanl la variable < par y — x. La fonc- 

 tion f{y — ,r) esl permutable avec toutes les fonctions w^y — ,r) (\'olteriia, Leçons 

 sur les fonctions de lignes^ p. 137). Le résultat île la composition de/(j — x) et 



de cp( j — x) se note f 'if{y — x) ( Volterra). Revenant à la variable /, je le note ici 



/kt) = fA-)9it--)d--^f 'H-)f{t-r)dz = yj\t 



Le sens des symboles/^{<), .... /"+' (0 c" 'ésulte. 



C. R., 1918, 1" Semestre. (T. 166, N- 18.) 9^ 



