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on vériliera que, A et ij. étant deux fonctions arbitraires de t, on a 



i2[).]ô[f,j = op,;,] (.). 



Donc, quel que soit l'exposant r, j 0[X] ^^ Q j)/] et particulièrement 

 (note du n" 4) 



6. Les résultats du n°4 sont encore valables siy''(o) =^h^o. En posant, 

 en effet,/, (/) = e'*" f(^t), on aura/,'(o) = o. On aura aussi 



Il suffit donc de remplacer, dans ce qui précède, la relation (2) par 



(2') cp{0=e"'}.(0+ / e'"l{-)<i>,{z,t)dz, 



$,(':, t) étant construite, à partir de f,(t), comme $ à partir de f{t). 



7. Autre exemple. — Soit l'ensemble des fonctions de Bessel J„(/). On 

 peut trouver une fonction entière U(/) telle que 



j,(0 = i„Li(o, ..., j„(/) = i„i;"(o, ... n- 



L'ensemble des fonctions J„ est donc à peine différent de Tensemble (4)- 

 Ici encore on formera sans peine <!'(':, l), d'où les résultats des n'"* 1 , 2, 3. 

 On retrouve ainsi, en particulier, le théorème de Neumann sur le déve- 

 loppement d'une fonction analytique en série de fonctions J„. 



(') Le' premier membre de celle formule désigne le résullat de la composition 

 de i2().) par i2(/Ji). La iranslormalion i^ jouit donc de la propriété remarquable de 

 conserver la composition. On trouvera, par la méthode indiquée à la fin du u" 4, des 

 transformations analogues pour un corps quelconque de fonctions permutables. 



(-) La formule J„(0 = Jn U" (/) peut se démontrer quel que soit «.Ici n est entier. 

 On vérifiera aussi que la fonction Jo est solution de l'équation intégrale 



(f'^{l) = sin t. 



