SÉANCE DU 6 MAI 1918. 727 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur T application des équations intégrales 

 à la théorie des équations différentielles linéaires. Noie de M. Tkaja\ 

 Lalesco. 



Les équations intégrales, appliquées à la théorie des équations différen- 

 tielles linéaires, servent à étudier les trois groupes de problèmes sui- 

 vants : 



1° Les problèmes d'existence lorsque les données initiales sont bilocales 

 ou plurilocales. 



2" L'étude des séries de fonctions orthogonales définies par les pro- 

 blèmes précédents. 



3" L'étude des propriétés spéciales de ces fonctions (réalité et répartition 

 des zéros, expressions asymptotiques, etc. ). • 



Pour traiter ces problèmes, on peut introduire avec M. D. Hilbert le for- 

 malisme de la méthode de Green; mais si la fonction de Green est indis- 

 pensable dans la théorie des équations aux dérivées partielles, elle ne l'est 

 pas au même point à la théorie des équations différentielles. Ceci a été nette- 

 ment mis en évidence par M. E. Picard, qui a proposé, pour le passage aux 

 équations intégrales, une méthode intuitive. 



En appliquant le principe de la méthode de M. E. Picard, nous avons 

 rencontré une suite remarquable de fonctions, qui se prêtent au calcul 

 comme les puissances d'une variable et qui permettent de donner une base 

 systématique à cet ensemble de problèmes. 



Prenons un intervalle al) (a <Cb) et délinissons à l'intérieur de cet inter- 

 valle la fonction de deux variables réelles G,(x, y) égale à - si x'^y 



et à si X <iy- 



Considérons la suite de fonctions itérées, définies par la relation de récur- 

 rence 



Qp{x,r)— i G,{x-, s)Gp_t{s,y]ds. 

 Ces fonctions jouissent des propriétés suivantes : 



r 



1° Les fonctions d'indice pair sont symétriques gauches^ celles d'ordre 

 pair sont symétriques. 



