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2° Ce sont des noyaux fermés. 



3° Les fonctions d'indice pair sont des noyaux définis. (Pour ces fonc- 

 tions d'indice impair, qui sont symétriques gauches, il n'y a pas lieu 

 d'examiner cette propriété.) 



4° Au point de vue de la multiplication composée et de la dérivation, 

 ces fonctions se comportent comme les puissances d'une variable. On a 



2^Gp{;r, y) = Gp_,(^, r). 



A l'aide de ces fonctions; on peut former immédiatement l'équation 

 intégrale de tout problème bilocal, relatif à une équation diflerentielle 

 linéaire d'ordre quelconque, en prenant comme fonction inconnue la 

 dérivée d'ordre le plus élevé. En posant 



on a en effet 



où Vi^i^x) désigne un polynôme arbitraire de degré k. Les coefficients du 

 polynôme P„(a;) se déterminent dans chaque cas particulier par les condi- 

 tions initiales du problème et l'équation intégrale est ainsi obtenue sans 

 aucune difficulté. Il est utile de remarquer que les conditions initiales 

 n'interviennent que pour déterminer les expressions des diverses dérivées 

 en fonction de ^(î-'); elles sont donc, comme dans le problème de Cauchy, 

 nettement séparées de V équation différentielle elle-même. 



Les diverses particularités des problèmes bilocaux, ainsi transposés, 

 dépendent de la nature et en particulier du genre de symétrie des noyaux 

 obtenus. Or, non seulement on peut obtenir ainsi la symétrie découverte 

 dans le cas des équations différentielles du second ordre, mais on peut 

 facilement préciser tous les cas où cette symétrie a lieu, à l'exclusion des 

 autres. 



L'étude approfondie des équations des deux premiers ordres montre en 

 même temps la voie dans laquelle il faut élargir la notion de symétrie; 

 c'est ainsi qu'à côté des noyaux symétriques et symétriques gauches, se 

 présentent tout naturellement les noyaux symétrisables découverts par 

 J. Marty ainsi que leurs généralisations. 



