SÉANCE DU 6 MAI I918. 729 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un procédé intuitif pour la recherche cles rnaxima 

 et minima ordinaires. Note (^'j de M. AIladcx T. Béritcu, présentée par 

 M. Appell. 



Le procédé classique pour la recherche des maxima et minima ordinaires, 

 tiré du développement de la fonction en série, ne peut quelquefois donner 

 aucun résultat, par exemple si f{x) = Ae"'. Dans le cas d'une fonction de 

 deux variables le procédé devient très compliqué [voir par exemple les 

 travaux de Scheefîer et Dautscher (Math. Annalen, t. 35 et 42 )j. Nous 

 donnerons un procédé intuitif qui ne suppose pas la développabilité de la 

 fonction en série. Nous l'appliquerons à une fonction explicite d'une et de 

 deux variables. Nous ne parlerons que de maxima. 



1. Commençons par le cas d'une fonction d'une variable y = /(•^)- 



La condition nécessaire pour qu'un point a- = a soit le maximum est que 

 la tangente Y — y = y^(X — x) soit parallèle à j'^o; ce qui n'est possible 

 que si /_^= o. Soient a^<:^a.,<^ ... <^ rr„ les racines dans un intervalle (a, p) 

 dans lequel la fonction est continue et à tangente continue. Soient a„ et o„+, 

 deux nombres tels que a <;«(,<[ a,, «„< "«+1 <C P- '-^ point x = a^ [où 

 j = i, 2, ..., n) sera le maximum si f((i^_^) <^f(ai)^f(a,^,). 



Si «, = — =c, il suffit de comparer /'(«,) à /(a^). Si nous cherchons les 

 maxima de f dans un intervalle (L J), déterminé par les inégalités 

 'i(^)<CO) 'sC^) <C O) •••) dans lequel /' est continue et à tangente 

 continue, nous écrirons toutes les racines de l'équation y[ = o com- 

 prises dans cet intervalle et nous ferons comme précédemment en rem- 

 plaçant «0 par I et «„^^, par J et en ajoutant : le point a: ■ = I (ou x = J) sera 

 le maximum dans l'intenalle (I, J) si /(I) >/(«,) [ou / ( J) >/"(««)]• Si 

 la fonction f(x) présente des singularités dans l'intervalle (a, (3) ou (L J), 

 on divisera cet intervalle en plusieurs qui ne contiendront pas de singu- 

 larités. 



2. Passons à une fonction de deux variables 



(>) z=f{x,y). 



(') Séance du 29 avril 1918. 



