73o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



A. Supposons qu'il existe entre les deux variables x et june relation 



(2) 9(a-,v)=o. 



Cette équation est aussi celle d'un cylindre. La condition nécessaire pour 

 qu'un point de (2) soit le maximum est que la tangente 



X-x Y -Y Z-z 



à(f) à(f D(/. 9) 



dy àr D(a;, /) 



à la ligne d'intersection des surfaces ( i ) et ( 2) en ce point, soit parallèle au 

 plan 5 = o ; ce qui n'est possible que si 



Donc les coordonnées d'un tel point satisfont aux équations (2) et (3). 

 Soient B/,(x = l'k,y = p^) (^' = i) -> • • •? "î) ces points, écrits dans l'ordre 

 qu'on trouve en parcourant la ligne (2) dans un sens déterminé, et si la 

 ligne (2) est ouverte, précédons B, par un point B„ sur elle et finissons 

 par 0,.+,. Un point B^. sera le maximum si 



/(*/.-„ riA-.)</{i/., [3a.)>/(^,+„ 3,.-,) (A = i, 2, ...,m), 



où si (2) est fermée B„ = B;„, B,;,^, = B,. Si ] ^^ ^o on aura 



/(^A, ^k) = const. 



B. Supposons que les variables .r et y doivent satisfaire à l'équation (2) 

 et aux inégalités ?, (.r, v)<Co, i.^{x, y) <^o, ... qui déterminent sur (2) 

 certains intervalles (I, J). On raisonnera comme on a fait à 1 et à A). 



C. Supposons que les variables ,r et j' soient les variables indépendantes. 

 La condition nécessaire, pour que le point x = a, y = a soit le maximum, 

 est que le plan tangent Z — c = y^.(X — x) + /j ( Y —y), à la surface (i) 

 en ce point, soit parallèle au plan ;; = o; ce qui n'est possible que 

 si ./x = o et /; = o. 



a. ?iOÏenl f'^= g{x, y)/,(x, y), /'^^h(x, y)/.,(x, y), g et h étant 

 premiers entre eux et à y", et /.,■ Soit A(.r = a, y = a) un point dont les 

 coordonnées satisfont aux équations g(x,y)^o et h(x, y)=^ o et soit 

 ce point seul dans un contour C à l'intérieur duquel la fonction /^( a?, j^) 



