7^4 ACADÉMIE UEb SCIENCES. 



CINÉMATIQUE. — Sur le mouvement à deux paramètres autour d'un point fixe. 

 Note de M. Kaoul Bricard, présentée par M. G. Kœnigs. 



Considérons un mouvement 3K^ à deux paramètres d'un corps qui possède 

 un point fixe, ou, ce qui revient au même, d'une sphère S qui glisse sur une 

 sphère fixe S„. A partir de l'une quelconque des positions qu'elle prend au 

 cours du ;Tl^, S peut recevoir une infinité de déplacements infiniment 

 petits compatibles avec ce mouvement. A chacun de ces déplacements 

 correspond un axe instantané de rotation, et l'on reconnaît aisément que le 

 lieu de ces axes est un plan diamétral de S„. Appelons cercle des centres K 

 le grand cercle suivant lequel ce plan coupe S„ (ou SV 



K a sur S„ deux pôles, dont nous choisirons l'un quelconque, qui sera 

 dit/;d/p instantané du 311- pour la position considérée. 



Quand S prend toutes ses positions, les pôlesinstantanéscorrcspondants, 

 qui dépendent de deux paramètres, couvrent S„ ou tout au moins une région 

 de cette sphère. De même tous les points de S, appelés à devenir pôles 

 instantanés, couvrent S ou tout au moins une région de cette sphère. Le3TL- 

 introduit donc une correspondance ponctuelle entre S„ et S, deux points 

 correspondants P„ et P étant appelés à se confondre en un pôle instantané. 

 Cette correspondance conserve les aires. Telle est la propriété que je me 

 propose d'établir. On peut la considérer comme étant l'analogue de celle 

 en vertu de laquelle un mouvement à un paramètre sur la sphère, étant 

 épicycloïdal, établit entre deux courbes une correspondance par égalité de 

 longueurs d'arcs. 



Il faut montrer qu'à toute courbe fermée Co décrite par P„ sur S(, 

 correspond sur S une courbe fermée C. décrite par P, et enfermant la 

 même aire que C„. 



A cet effet, considérons l'ensemble des positions de S pour lesquelles P„ 

 est sur C„. On définit ainsi un mouvement à un paramètre ;)H'. Il peut 

 s'obtenir en faisant rouler une courbe fermée F de S sur une courbe fermée 

 r„ de S(,. A un moment quelconque, F et F„ se touchent en un point I qui 

 appartient au cercle des centres Iv du DTL- pour la position considérée. K a 

 pour pôle le point auquel sont actuellement confondus P et P„. 



Soient G|, et G les courbes de S„ et de S qui sont respectivement supplé- 

 mentaires de F„ et de F (enveloppes des grands cercles polaires des points 

 de ces courbes). Le oii' considéré établit entre F,, et F une correspondance 



