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forme /(a:, y) en elle-même. On suppose de plus que cD est à l'extérieur de 

 la circonférence C, équateur de la sphère représentative de f, ce qui 

 entraîne /(a?,, y,) > o. 



Des définitions analogues s'appliquent aux sommes Z', ..., en introdui- 

 sant CD' et/', . . ., au lieu de cD et/. 



Au second membre de (2), les S portent sur les entiers réels positifs, n, 

 premiers à 2D. 



2. On reconnaît d'abord que, dans la première somme du premier 

 membre, les systèmes .r,, Vi qui satisfont à la condition i" sont, par 

 rapport au module 2D, en nombre égal à 



(3) 4D'4«(2D), 



$(2D) étant le nombre des entiers complexes, distincts entre eux 

 (mod 2D), et premiers à 2D. On sait, par la Théorie générale des nombres 

 quadratiques, que, si l'on désigne par y, </,,.. . les facteurs premiers réels 

 de D, qui sont impairs, distincts, et supérieurs à i; par q\ q\^ ... ceux 

 des y, 7,, ... qui sont du type [^h-\- \\ par y", q\^ ... ceux des çr, ^1, ... 

 qui sont du type [\h — i , on a l'expression 



(4) «&(2D) = 2D»n,.(.--i)'n,.(,_-^ 



Cela dit, on peut poser, dans (2), 

 (5) .r, = «, + 2Dc, j, = y, 4- 2 D»', 



a,. Y, parcourant successivement 4D°$(2D) systèmes déterminés d'entiers 

 complexes, et c, w étant des entiers complexes quelconques, tels cependant 

 que *;, JK, satisfassent à la condition 1° ci'dessus. 



Faisons maintenant j=2-i-p} multiplions les deux membres de (2) 

 par p, et cherchons leurs limites respectives quand p tend vers zéro par 

 valeurs positives. 



3. Limite du premier membpe . — Prenons d'abord ceux des termes de la 

 première somme 2 qui répondent aux valeurs (5) de a:,-, j,, où a,, y,- sont 

 regardés comme fixes. Pour cette somme partielle, la limite cherchée, on le 

 le voit par une extension bien facile de la méthode de Dirichlet, est celle, 



