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comme un domaine fondamental du groupe F sur la sphère S, d'après les 

 idées de M. Bianchi; notre formule finale, à savoir 



donne donc la somme des aires non euclidiennes des domaines fondamen- 

 taux ipAer/i/uci des groupes?, T' , ... reproducteurs des formes/,/', ..,, 

 les aires étant mesurées dans le demi-espace de Poincaré. 



Cette formule est à rapprocher de celle de M, Fatou ('), pour les formes 

 définies positives d'Hermite, 



où s s'étend aux réduites proprement primitives /,/', ... de déterminant 

 (négatif) — D, et où A-*^' est le nombre des transformations, de déter- 

 minant + I, de la forme/''^'en elle-même; au second membre, ^a la même 

 signification que ci-dessus : on voit donc que ZA joue, dans le cas des 



formes indéfinies, le même rôle que la densité, ^jjjij' dans le cas des 



formes positives. 



Remarque. — Il est bien facile d'évaluer A géométriquement : si le poly- 

 gone (convexe) tO, a n côtés (tous, par hypothèse, orthogonaux à C) et si 

 Zo) désigne la somme de ses angles euclidiens, on a, pour son aire non eucli- 

 dienne, 



A^(« — 2)t[ — 2fi); 



d'ailleurs, les n et les w étant les mêmes pour (D, et pour le domaine corres- 

 pondant, (0, du plan de l'équateur, on pourra vérifier la formule (17) dans 

 tous les cas où cO aura été obtenu par une méthode quelconque. 



Par exemple, soit D = 7; il n'y a qu'une classe proprement primitive, et 

 l'on peut prendre pour lO, d'après MM. Fricke et Klein, un polygone de 

 16 côtés à angles tous droits. On a donc 



iA^rl47I — 871 = 671, 



ce qui est bien égal au second membre de (17), pour = 7. 

 On vérifie de même (17) dans les cas de D = i, 2, 3, 4, 5, 6, 8. 



(') Comptes rendus, t. 142, 1906, p. 5o5. 



