SÉANCE DU l3 MAI 1918. 77I 



Ainsi V(P) se présente sous la forme du potentiel en P d'une simple 



couche étalée sur S, la densité au point M' étant -^^ — —■ 



Cette densité dépend de P, c'est-à-dire qu'en un point M', fixe, de S, 

 la densité varie quand P varie. Si P tend vers zéro suivant une courbe 

 tangente en O à une demi-droite OT non tangente à la sphère, en consi- 

 dérant sur le cercle y que découpe dans S le plan M'OT le segment de 

 base OT qui ne contient pas M', lui menant en O la demi-tangente OU 

 qui correspondra à un certain angle 4') il est clair que la valeur limite de la 



densité en M' sera 7-^- H est alors facile, en s'aidant des propriétés de 



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ttR 



continuité du potentiel de simple couche, de démontrer que la valeur 

 limite de V(P) est 



'\i correspondant à M' comme on vient de l'indiquer ('). Cette limite 



dépend des deux angles 0„ et 'j^,, qui fixent la direction OT ("_) : dg = Oz, OT, 

 'l'o est l'angle du demi-plan zOT avec le demi-plan zOx. La transforma- 

 tion suivante met en évidence cette dépendance. 



Du point O projetons stéréographiquement la sphère sur le plan équa- 

 torial normal à O:;. OT perce ce plan en w; OM' le perce en M,, OM, = r^ 



(da^ sera l'élément de surface du plan é(juatorial). On a -^77 = -^ et, 



comme r'r^ = iR-, ~ = 2*R- -^; l'intégrale précédente devient 

 ' ' 1 



^r. J j r] 



l'intégrale étant étendue à tout le plan équatorial. La valeur de j/ qui 



(') Pour tous les points M' du cercle y situés d'un même côté de OT, /(J') a la 

 même valeur. 



(') Si OT est tangente à la sphère, avec 0.r, OT == j/, la limite de la densité en M' 



sera ■ ^ quel que soit M' sur la snliùre en supposant, bien entendu, que la direc- 



tion OT n'est pas une des directions exceptionnelles signalées plus liant, et la limite 

 de l'intégrale de Poisson sera /{'!/), égale à la limite de V(M) quand M tend vers zéroj 

 sur la sphère, dans la direction TO. 



