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Soient Sj, S,, ..., S^, ... les sommes de Fourier d'ordres successifs 

 de /(■'X^)'i la somme de Fejér d'indice n, 



So -+- S, + . . . -t- S„.-| 

 n 



est la moyenne arithmétique des n premières sommes de Fourier. C'est 

 une expression trigonométrique qui est généralement d'ordre n — i. La 

 propriété la plus importante des sommes de Fejér est la suivante : Tou/e 

 somme de Fejér a une valeur moyenne entre les diverses valeurs de f{x). En 

 particulier, si le module de f(x) est ^ M, toutes les sommes de Fejér auront 

 leur module 'z M. 



Considérons maintenant une expression trigonométrique finie T(a;) 

 d'ordre n. Pour les distinguer "des précédentes, désignons les sommes de 

 Fourier par j„, s,, ..., .y^, ... et les sommes de Fejér par T/^. Si ^ est^«, 

 S/; est identique à T. On a donc identiquement 



( /i . + /j ) 7„+p =. H r„ + /> T, 

 d'où 



(i) T ("+P)^>-+P— "'» _Q_ . 



P 



Supposons que T représente / avec une approximation p, c'est-à-dire 

 que l'on ait 



l/-T|^p. 



Remarquons que la somme de Fejér d'une différence est la différence 

 des sommes de Fejér, et appliquons la propriété fondamentale rappelée 

 plus haut aux sommes de Fejér de / — T; nous avons 



Nous voyons ainsi qu'on a, sauf une erreur <[ p, 



Faisons ces substitutions dans l'équation (i), l'erreur totale ainsi 

 commise est inférieure à 



P P ^ 



'■' 'i y '-' 



ce qui assure l'inégalité 



„ " +P 



(n-hp)a„+p- 



P- 



