SÉANCE DU 21 MAI 1918. 801 



Revenons aux sommes de Fourier; cette inégalité s'écrit 



_ S„ + S,,,, I +■ . . -i- S„+^_| I ^ Il + p 



r i '' p ''' 



Donc la meilleure approximation, p, de /, par une expression trigonomé- 



trique d'ordre II, n est pas inférieure au quotient par i- de i approximation 



obtenue, quand on prend comme valeur approchée de f la moyenne arithmé- 

 tique de p sommes de Fourier consécutives à partir de S„. En particulier 

 (si p = n), elle n'est pas inférieure au quart de V approximation fournie par 

 la moyenne de n sommes de Fourier consécutives à partir de S„. 

 Désignons le terme général de la série de Fourier par 



A/ft= ak coikjc -r- 6/ sin /, .c, 



et par R/, l'erreur y"— S/^. Nous avons 



R/, = A/,+, + A/,+, -)-... + A,„+ R,,,. 



L'erreur relative à la moyenne de S„, S„„,, ..., Sj^-, est l'erreur 



moyenne 



R„4-R„+,-H . . . + R.;„_, A„+, + 2A„+, + . .. -H/tAj,. 



= H- «,„. 



n n 



Supposons, pour simplifier, que /soit exprimable en série de Fourier. 

 Alors, si la valeur de x qui maxime | Ro„ | donne le même signe à tous les 

 termes A/, d'indices > n (^donc le même qu'à R^n), le maximum absolu de 

 l'erreur moyenne surpassera celui de Rjn- De là, le théorème suivant : 



• 



Si /{x) est développable en série de Fourier, et si la valeur de x qui 

 ma.iime | Rjn | donne le même signe à tous les termes de cette série 

 d'indices ^ n, la meilleure approximation de x par une expression trigonomè- 

 trique d'ordre n n'est pas inférieure au quart de celle fournie par la somme 

 de Fourier d'ordre double, in. 



Cette condition sera évidemment remplie si tous les termes de la série de 

 Fourier d'indices > n sont maximes et de même signe pour la même valeur 

 x= o, comme cela a lieu dans l'exemple suivant : 



Soit à étudier l'approximation de la fonction |sin.a;|. Nous avons le 



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