SÉANCE DU 2 1 MAI I918. 809 



et en considérant la somme s„(z) des n premiers termes du développement 

 taylorien de (i), dans le voisinage de zéro, je puis écrire 



(2) F(c) =.•„(.-) +V -\'''^^- 



■^ '^/, ( Cl) 



A 



Soit, de plus, une fonction entière 



/(ç) = yoH-y,;-+-72r + .... 

 Multipliant (2) par y„;" et sommant entre zéro et l'infini, il vient 



(3) 



" = " f(—\ 



/(t) ^ /(?) --«A- 



On peut ne conserver pour V(z) que la série formée par les polynômes s„(z), 

 carie second sigma de (3) peut être détruit par diverses méthodes. Ainsi 

 on peut prendre pour y une fonction entière pounue de zéros et toujours 

 faire coïncider ^z \ a^ avec Tun d'eux, cependant que _/(H) ^ o. 



Soit /'(^) = d'\, avec les zéros ± 2A ±: 2?/ si h et / sont tous les entiers 

 possibles. Couvrons maintenant le plan des z d'un quadrillage formé de 

 parallèles aux axes et dont chaque maille carrée aura pour côté i : /;, p étant 

 entier. 



Imaginons que a^, z, ^ deviennent respectivement 



(4) apk=~(bpi,-+icp/,), Zpr= -{.Tp+iyp). Ep=n{bl/^-i- c],^), 



avec bpi^el r^,^ entiers de parité différente, j;^ et r^ pairs. Alors ^ est toujours 

 impair, d'où rfç ^ o et a* (^r. ; ai,) est toujours nul. Donc 



On peut passer de là au cas où les pôles deviennent infiniment nombreux, 

 F(;;) étant notamment méromorphe comme je l'ai montré dans les travaux 

 susmentionnés. 



On peut aussi, et c'est ici l'essentiel, imaginer que les «^, en gardant la 

 nature arithmétique indiquée en (4), forment un ensemble dénombrabte 

 partout dense sur un contour C, de forme quelconque, entourant l'origine 



C. R., 1918, 1" Semestre. (T. 166, N- 20.) I06 



