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Alors si F(2^), pour/j croissant indéfiniment, a un sens bien défini parle 

 second membre de (5), le troisième membre a également un sens. Il ne 

 serait pas superflu, à coup sûr, d'établir directement la convergence de ce 

 troisième membre, surtout lorsque p croît indéfiniment, mais c'est encore 

 un point traité, l'essentiel de la démonstration appartenant à M. G. Mi'tlag- 

 Leffler('). 



Finalement, pour des -^ appartenant à un ensemble dénombrable dense 

 dans tout le plan, F sera développée en série de polynômes tayloriens *„, 

 sans aucune considération de la frontière G infranchissable par développe- 

 ment taylorien proprement dit. 



L'impossibilité fondamentale de la théorie de Weierstrass disparait donc 

 avec des séries qui, si elles ne sont pas entières, sont du moins en connexion 

 fort étroite avec celles-ci. 



On pourrait encore tirer, de la méthode précédente, d'autres résultats 

 analogues à ceux toujours publiés par M. Borel, notamment dans son 

 Mémoire (-). 



Ainsi l'expression (i), quand les a^, sont infiniment nombreux sur G, 

 diverge non seulement aux «;;, mais dans des ensembles ayant la puissance 

 du continu définis par 



\z — ak\<kk. 



G'est ce qu'indique M. Borel dans les Leçons précitées (p. 87). Il n'en est 

 pas forcément de même pour le dernier sigma de (3), dans les conditions 

 ci-dessus où le coefficient en/est toujours rigoureusement nul. 



Finalement, on arrive à concevoir des séries de polynômes qui non seule- 

 ment représentent ¥( z) pour des z où cette fonction existe, mais qui con- 

 vergent encore là où F(::) n'existe pas. 



G'est le phén(jmène inverse du phénomène taylorien d'après lequel une 

 série entière, représentant F( = ) dans un cercle, diverge au dehors bien 

 que F(3) puisse exister dans ce domaine extérieur. 



Je rappelle encore que les a* pourraient avoir O pour point limite, ce qui 

 rendrait divergent le développement taylorien autour de O. Mais, de ce 

 développement divergent, on pourrait encore extraire des polynômes 5„ 



(') Acla malheinalica, t. 29, p. 167. 



(*) Sur les séries de polynômes et de fractions rationnelles (Acla matlicniatica, 

 1901). 



