844 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



démonslralion de M. Bernstein, qui est rigoureuse si S est paire, repose, 

 quand S est impaire, sur une assimilation entre les deux cas en désaccord 

 avec la réalité ('). Il y a donc lieu d'y revenir. Nous allons donner une 

 démonstration directe, très simple, de l'énoncé général. Cette démonstra- 

 tion fera appel à trois propositions préliminaires, la première bien connue. 



1° Une expression trigonométrique d'ordre n, S(j;), ne peut pas avoir plus 

 de in racines non équivalentes. Chaque racine multiple est comptée pour autant 

 de racines simples qu'il y a d'unités dans son ordre. 



Considérons la substitution 



Elle fait correspondre à une même valeur de t une infinité de valeurs de r 

 qui diffèrent d'un multiple de la période iiz et nous disons que de telles 

 valeurs de x sont équivalentes. Deux valeurs de x qui ne vérifient pas cette 

 condition sont non équivalentes et correspondent à des valeurs différentes 

 de /. 



Cette substitution transforme S dans une fonction rationnelle 



s(„ = iv[„,(,<^.)^'i. (,._.)] 





où Vnn{t) est un polynôme de degré in. Or les racines de S(^) sont don- 

 nées, avec leur ordre de multiplicité, par les racines du polynôme P.„(z), 

 ce qui justifie notre proposition. 



Soit, en second lieu, L'= L. Donnons-nous un infiniment petit positif t 

 et considérons la différence 



T-(i-£)S. 



Comme dans le cas précédent, cette fonction admet m racines non équiva- 

 lentes, qui s'intercalent entre les termes de la suite (i) et forment une nou- 

 velle suite 



(2) i'i. l".- •••, ik , hn- i;i-H2- (.r/,<i/,<.r,,+,)- 



Mais ces racines ^/.dépendent maintenant de £, de sorte que deux racines 



(') Sur l'ordre de la meilleure approximation, e^c. (Mémoires publiés par la 

 classe des Sciences de l'Académie royale de Belgique. Coll. in-^", 1" série, t. IV, 1912.) 

 La démonslralion contestée est celle du paragraphe 11 et la critique porte sur le 

 renvoi au paragraphe 2 à la fin de cette démonstration. 



