SÉANCE DU 27 MAI 19x8. 845 



consécutives peuvent être infiniment voisines. Si l'intervalle (E^, ^k+i) n'est 

 pas infiniment petit, H* et ^/,^, sont, à la limite (pour z — o), deux racines 

 distinctes de T — S {indépendant de i) et, entre elles, il y a une racine au 

 moins y]a de T' — S' à distance Jinie de ^^ et de E^^., . Si l'intervalle (l,,,, ^a+, ) 

 est infiniment petit, comme il contient 3;^.+ ,, les points H/,, E/,^., et la racine 

 intermédiaire ■(],, de ï' — S' se confondent avec a;/,+, ; mais les deux inter- 

 valles (^A^,, \h) et (^ah-,, \k+-i), contigus au précédent, sont finis, car ils 

 contiennent respectivement x,, et a:^+>; et, par conséquent, la racine n^ est 

 isolée de ses deux voisines y]^._, et Y]A^_,, en vertu de la conclusion obtenue 

 dans la première hypothèse. Donc, à chaque intervalle de deux points E/, 

 consécutifs, correspond une racine distincte de T' — S', et le nombre de ces 

 racines est encore -m. 



Il est maintenant aisé de démontrer le théorème suivant, dont celui du 

 début est la conséquence immédiate : 



TiiKORÈMK. — Soit S(a;) une expression trigonométrique entière dont le 

 module ne surpasse pas L, si le module de sa dérivée S' atteint « L, S (a:) est de 



la forme 



T(j?) =^ Lsin(«.c + C) 



OU d'ordre supérieur à n. 



Supposons d'abord que |S'| dépasse nh. Déterminons la constante C 

 comme plus haut (2°) et choisissons une constante A < i de manière que 

 |XS'| ait pour maximum raL. Alors] >vS|a son maximum < L,doncT'— XS' 

 a in racines distinctes (3") et une racine double (2°), donc -m + i racines 

 au moins. Celte expression (et, par conséquent, S) est d'ordre >• n (1°). 



Supposons que | S'| aitpour maximum «L. Dans ce cas, ï — S' a 2«-i- i 

 racines au moins comme dans le cas précédent, mais T — S peut être iden- 

 tiquement nulle. Donc S = T ou est d'ordre > n. 



2° Si la dérivée de S (ce) admet le même module maximum nL que la dérivée 

 de 



T(a;) = Lsin(«x + C), 



OÙ L el C sont des constantes, la seconde arbitraire, on peut choisir la con- 

 stante G de manière que la dijférence de ces dérivées T' — S' ait une racine 

 double. 



Soit ç un point où ] S' | atteint son maximum «L ; on a, en ce point, 



S'(X)=±nh, S"{l)=o. 



